Velocità di fuga
Si chiama velocità di fuga la minima velocità che deve essere posseduta da un proiettile posto sulla superficie di un pianeta per riuscire ad allontanarsi per sempre da esso senza ricadervi.
Quando si spara in aria verticalmente, di solito il proiettile rallenta, subisce un istante di arresto e ricade a terra.
Esiste però un certo valore minimo della velocità iniziale che lo farà allontanare verso l’alto per sempre, sottraendolo all’attrazione gravitazionale della Terra e farlo arrestare teoricamente soltanto a distanza infinita. Questa velocità iniziale è detta velocità di fuga.
E’ molto facile calcolare la velocità di fuga da un pianeta di massa M e raggio R da parte di un proiettile di massa m.
Consideriamo un proiettile di massa m che lasci la superficie di un pianeta alla velocità di
fuga v.
Avrà un’energia cinetica $K = 1/2mv^2$ e un’energia potenziale, data dalla
$$U=-{GMm}/R$$
Quando il proiettile arriva a distanza infinita si arresta, e quindi ha energia cinetica nulla. Ma, per definizione del potenziale zero, è nulla anche la sua energia potenziale, e di conseguenza anche la sua energia totale $E=K+U$.
Infatti, secondo la meccanica classica, l’energia totale di un corpo in moto sotto l’azione di un campo di forze è composta dalla sua energia cinetica e dall’energia potenziale; la somma delle due energie, l’energia totale E, resta invariata durante il moto del corpo.
$$E= K+U=1/2mv^2+({-{GMm}/R})$$
L’energia cinetica è sempre positiva, l’energia potenziale di gravitazione è sempre negativa.
Se E è positiva (E>0), il movimento condurrà a distanze infinitamente lontane con traiettoria iperbolica.
Se E è negativa (E<0) il movimento sarà limitato ai pressi del corpo di massa M e l’orbita avrà la forma ellittica.
Questi due casi, orbita periodica e fuga all’infinito, sono separati dal caso E=0, in cui l’orbita ha la forma di una parabola e la velocità del corpo tende a zero all’allontanarsi dal centro di massa M.
Questo caso limite definisce la velocità di fuga, cioè la velocità minima che un corpo deve possedere per potersi allontanare dalla distanza r all’infinito.
Per il principio di conservazione dell’energia, se E è nulla all’infinito doveva essere nulla anche alla partenza dalla superficie terrestre: si ha dunque
$$E= K+U=1/2mv^2+({-{GMm}/R})=0$$ (•)
e risolvendo rispetto a v:
$$v_o=√{{2GM}/R}$$
La velocità di fuga non dipende dalla direzione in cui il proiettile è sparato. Tuttavia è più facile raggiungere quella velocità se il proiettile è diretto nel verso in cui ruota la rampa di lancio mentre la Terra gira intorno al proprio asse. Per esempio, i razzi a Cape Canaveral sono diretti verso est per approfittare del moto che la base segue insieme alla Terra nella sua rotazione verso est con velocità di 1500 km/h.
Questa equazione può servire a calcolare la velocità di fuga di un oggetto da qualsiasi corpo celeste, attribuendo semplicemente a M il valore della massa del corpo celeste e a R quello del suo raggio. La tabella seguente riporta le velocità di fuga da alcuni corpi celesti.
| corpo | massa (kg) | raggio (m) | velocità di fuga (km/s) |
| Luna | 7,36⋅1022 | 1,74⋅106 | 2,38 |
| Terra | 5,98⋅1024 | 6,37⋅106 | 11,2 |
| Giove | 1,90⋅1027 | 7,15⋅107 | 59,5 |
| Sole | 1,99⋅1030 | 6,96⋅108 | 618 |
| Sirio B | 2⋅1030 | 107 | 5200 |
| Stella di neutroni | 2⋅1030 | 104 | 2⋅105 |
Raggio di Schwarzschild
Il raggio di Schwarzschild è la distanza minima da un oggetto massivo al di là della quale nulla può sfuggire alla sua forza gravitazionale, inclusa la luce. Viene definito come il raggio di un buco nero non rotante in cui la velocità di fuga della luce è uguale alla velocità della luce stessa. Questo raggio prende il nome dal fisico tedesco Karl Schwarzschild, che lo calcolò nel 1916 come soluzione alle equazioni di campo di Einstein della relatività generale.
La velocità di fuga dipende dalla distanza originale dal centro di attrazione gravitazionale;il centro d massa M: maggiore è la distanza minore è la velocità per fuggire all’infinito. Viceversa quanto maggiore è la velocità iniziale disponibile per effettuare la fuga, tanto più vicino al centro può essere il punto di partenza.
Supponiamo di voler determinare la distanza in cui la velocità di fuga è pari alla velocità della luce c, trascurando tutti gli aspetti relativistici. Allora la formula per la determinazione del raggio di Schwarzschild è
$$R={2GM}/c^2$$
Il calcolo appena eseguito è molto « sportivo ». La relatività richiede che nessun corpo raggiunga mai la velocità della luce; inoltre l’espressione relativistica dell’energia cinetica a velocità prossime a quelle della luce differisce drasticamente dalla $K=1/2mv^2$ (non relativistica).
Bisogna poi dire che la geometria dello spazio che circonda una massa di Schwarzschild differisce notevolmente dallo spazio piano, in tal caso r non misura più le distanze in senso ordinario.
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