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Legge di gravitazione universale : esercizi risolti

Esercizio 1

Quale deve essere la distanza che separa due corpi puntiformi, uno di massa 5,2 kg e l’altro di massa 2,4 kg, affinché la loro attrazione gravitazionale sia 2,3⋅10-12 N?

[19 m]

Esercizio 2

Una massa M è divisa in due parti, di masse m e M — m, che vengono in seguito allontanate di una certa distanza. Qual è il rapporto m/M che rende massima la forza gravitazionale fra le due parti?

$$[\;\; m/M=1/2\;\;]$$

Esercizio 3

Quattro sfere sono poste agli angoli di un quadrato di lato 20 cm.
Le loro masse sono m1 = 5 g, m2 = 3 g, m3= 1 g ed m4 = 5 g.

Quali sono l’intensità e la direzione della forza gravitazionale risultante da esse esercitata su una sfera di massa m5 =2,5 g piazzata al centro del quadrato?

[$1,67⋅10^{14}\;N$]

Esercizio 4

Due particelle puntiformi sono fissate su un asse x separate da una distanza d. La particella A ha massa mA e la particella B ha massa 3mA. Una terza particella C, di massa 75 mA, deve essere posizionata sull'asse x e vicino alle particelle A e B.

In termini di distanza d, a quale coordinata x deve essere posizionata C in modo che la forza gravitazionale netta sulla particella A dalle particelle B e C sia zero?

[ r=5d ]

Esercizio 5

Tre sfere di massa 5 kg ciascuna sono collocate sul piano xy come si vede nel disegno, a distanze d1= 0,3 m e d2 = 0,4 m.

Calcolare il modulo e la direzione della forza gravitazionale netta esercitata sulla sfera posta nell’origine dalle due altre sfere.

[ $F=2,13⋅10^{-8}\,∠60,6°\;\;N$ ]

Esercizio 6

Nello schema sotto, due sfere di massa m e una terza di massa M stanno ai vertici di un triangolo equilatero, al cui centro è collocata una sfera di massa m4.

Quale deve essere il rapporto M/m per annullare la risultante delle forze gravitazionali esercitate dalle tre sfere su m4? Se raddoppiamo il valore di m4, quanto vale l’intensità della forza gravitazionale sulla sfera centrale?

[ 0 ]

Esercizio 7

A quale altitudine sopra la superficie terrestre l'accelerazione di gravita è 4,9 m/s?

[ $2,6⋅10^6\;\;m$ ]

Esercizio 8

Sapendo che l’accelerazione di gravità sulla luna vale gl=1,67 m/s2 , quale sara sulla superficie della Luna il peso di un oggetto che pesa 100 N sulla superficie terrestre?
A una distanza di quanti raggi dal centro della Terra dovrebbe essere messo quell’oggetto per pesare quanto pesa sulla Luna?

$$[\;\; r/R=2,35\;\;raggi\;\; ]$$

Esercizio 9

Nel 1956 il grande architetto F.L. Wright progettò a Chicago un grattacielo alto 1600 m. Se l’avesse costruito, calcolare la variazione che avrebbe avuto una forza-peso di 600 N salendo in cima al grattacielo (ignorando la rotazione della Terra).

[$\;\; -0,303\;\;N\;\;$]

Esercizio 10

Quale è l'energia potenziale gravitazionale del sistema di due particelle del problema 1?
Se triplichiamo la distanza che separa le due particelle, quanto è il lavoro svolto
(a) dalla forza di gravita fra le due particelle e
(b) da noi?

[$\;\;-4,4⋅10^{-11}\;\; J\;\;|\;\;-2,9⋅10^{-11}\;\;\; J$]

Esercizio 11

Le quattro particelle riportate nel disegno hanno ciascuna una massa m=20 g. Le particelle sono disposte a formare un quadrato di lato d=0,6m.

Se d viene ridotto a 0,2m quanto vale la variazione dell’energia potenziale del sistema costituito dalle quattro particelle?

[$\;\;ΔU=-4,82⋅10^{-13}\;\;J\;\;$]

Esercizio 12

Una sonda di massa m=10 kg deve essere lanciata dalla superficie di un ipotetico pianeta di massa M=5·1023 kg e raggio R=3·106 m, privo di atmosfera.
La sonda viene lanciata verticalmente con una energia cinetica iniziale di Ki=5·107 J.
Quale sarà l’energia cinetica della sonda ad una distanza 4·106 m dal centro del pianeta?
Se la sonda deve raggiungere una distanza di 8·106 m dal centro del pianeta, quale deve essere l’energia iniziale della sonda?

[$2,2·10^7\;\;J\;\;|\;\;6,9·10^7\;\;J$ ]

Esercizio 13

Un proiettile viene sparato verticalmente dalla superficie terrestre.
Trascurando la rotazione della Terra, calcolare, in rapporto al raggio terrestre R, la distanza radiale dal centro della Terra che il proiettile riesce a raggiungere se alla partenza
(a) la velocità è 0,5 volte quella di fuga
(b) l’energia cinetica è 0,5 volte quella richiesta per sfuggire all’attrazione terrestre.
(c) Alla velocità di fuga quanto vale l’energia meccanica del proiettile?

$$[\;\;r=4/3R\;\;|\;\;r=2r\;\;|\;\;∞\;\;]$$

Esercizio 14

Che velocità lineare deve avere un satellite terrestre per stare su un’orbita circolare a un’altitudine di 160 km?
Quale sara il suo periodo di rivoluzione?

[ 7820 m/s | 5250 s ]

Esercizio 15

Il satellite Phobos del pianeta Marte percorre un’orbita di raggio 9,4·106 m, con un periodo di 7 h e 39 min. In base a questi dati calcola la massa di Marte.

[ 6,5·1023 kg ]

Esercizio 16

Un satellite ruota attorno alla Terra su un’orbita circolare con raggio uguale alla meta del raggio dell’orbita lunare.
Qual è il suo periodo di rivoluzione espresso in mesi lunari? (Il mese lunare è il periodo di rivoluzione della Luna intorno alla Terra.)

[0,35 mesi lunari]