Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Che cos’è un vettore? Un vettore è una entità geometrica perché viene
definito come un segmento orientato.
Il vettore è dunque, una nozione di tipo matematico/geometrico anche
se un suo impiego diretto si ha soprattutto in Fisica e in altre discipline.
Nel seguito della pagina daremo spazio a quelle che possono essere considerate le nozioni fondamentali sui vettori
In Fisica si hanno due tipi di grandezze: le grandezze scalari - sono quelle che possono essere individuate solo dalla loro misura rispetto ad una unità prefissata.
Le grandezze vettoriali - che vengono individuate associando alla loro misura, una direzione e un verso.
Esempi di grandezze scalari sono la massa, la temperatura, il tempo.
Esempi di grandezze vettoriali sono le forze, la velocità, l'accelerazione.
Le grandezze scalari vengono espresse attraverso un semplice numero
(con la rispettiva unità di misura).
Le grandezze vettoriali per essere espresse, oltre alla loro intensità,
necessitano di informazioni supplementari di tipo geometrico (verso
e direzione).
Vettori
Per rappresentare una grandezza vettoriale si usa un segmento frecciato (dotato di freccia) chiamato vettore.
La retta a cui appartiene il segmento individua la direzione della grandezza, la freccia indica il verso e la misura del segmento (rispetto all'unità di misura scelta) è detta modulo o intensità del vettore.
Il vettore si indica con una lettera soprassegnata da una freccia o da un segmento $v↖{→}$. Il modulo si indica con la stessa lettera senza nessuna soprassegnatura oppure con l'annotazione di modulo |v|.
Versori
Ad ogni vettore si può associare un altro vettore di modulo unitario che abbia lo stesso verso e la stessa direzione del vettore originario a questo vettore di modulo unitario si da il nome di versore.
In questo esempio il vettore $a↖{→}$ è parallelo all'asse x di versore (vettore di lunghezza unitaria) $i↖{→}$, per questo si può scrivere
$a↖{→}=i↖{→}\,a$
Nel caso di vettori bidimensionali possiamo usare come riferimento una coppia di assi cartesiani ortogonali, disponendo il vettore con punto di applicazione nell'origine del piano. Il vettore può essere, in questo caso, identificato dalla sua coppia di coordinate cartesiane
$v↖{→}=(v_x,v_y)$
oppure tramite le coordinate polari
$v↖{→}=(ρ,θ)$
bisogna specificare che ρ corrisponde col modulo ( o intensità del vettore ) |v|. Valgono dunque le relazioni.
$$v=ρ=√{v_x^2+v_y^2}$$
$$θ=arctg(v_y/v_x)$$
Se sono note solo le coordinate polari, è possibile risalire alle coordinate cartesiane tramite le seguenti formule della trigonometria:
$\{\table v_x=ρcosθ ; v_y=ρsinθ $
Utilizzando la notazione coi versori è possibile indicare
$v↖{→}=(v_x,v_y)=i↖{→}v_x+j↖{→}v_y$ oppure $v↖{→}=(v_x,v_y)=ρ(i↖{→}cosθ+j↖{→}sinθ)$
Prodotto di un vettore per un numero reale
Se abbiamo un vettore $v↖{→}=(v_x,v_y)$ e un numero reale $k$ , viene definito il prodotto scalare del numero $k$ per il vettore $v↖{→}$ scrivendolo come:
$kv↖{→}=(kv_x,kv_y)$
il vettore $kv↖{→}$ è allineato al vettore $v↖{→}$ , avrà lo stesso verso, oppure opposto a secondo che k sia positivo o negativo.
Somma e differenza di vettori
Se abbiamo due vettori $a↖{→}$
e $b↖{→}$
per trovare la loro somma $a↖{→}+b↖{→}$
si applica la regola del parallelogramma che consiste nel tracciare sul
punto finale di ciascun vettore la retta parallela all'altro vettore.
La congiungente fra l'intersezione delle due rette e il punto di applicazione
dei due vettori è la somma risultante dei due vettori.
In modo del tutto equivalente è possibile trovare la somma trasportando
parallelamente a se stesso uno dei due vettori facendo poi coincidere la
coda del vettore traslato con la punta del vettore lascito fisso (metodo
punta-coda).
$c↖{→}=a↖{→}+b↖{→}$
La somma di due vettori è commutativa perché
$a↖{→}+b↖{→}=b↖{→}+a↖{→}$
I due vettori così ottenuti sono applicati ad uno stesso punto. Il vettore somma detto risultante è il vettore applicato allo stesso punto e avente l'altro estremo nel vertice opposto al parallelogramma di lati $a↖{→}$ e $b↖{→}$.
Questa è la regola del parallelogramma, ma il vettore somma risultante, poteva essere ottenuto anche facendo traslare uno dei due vettori, ad es. facendo coincidere la coda di $b↖{→}$ con la punta di $a↖{→}$.
In questo caso viene ad evidenziarsi il disegno in alto a destra, per il quale si può dire
$(AC)^2=(AD)^2+(DC)^2$
Ma $AD=AB+BD=a+bcosθ=$ e $DC=bsinθ=$ quindi
$c^2=(a+bcosθ)^2+(bsinθ)^2=a^2+2abcosθ+b^2cos^2θ+b^2sin^2θ$
$c^2=a^2+b^2+2abcosθ$ dunque:
$c=√{a^2+b^2+2abcosθ}$
questa è la formula di Carnot; ma non ci dà informazioni sulla direzione del vettore risultante cioè sull'algolo α. Per quello si può ricorrere al teorema dei seni:
$$c/{sin(π-θ)}=c/{sin θ}=b/{sin α}=a/{sin β}$$
per cui si può usare
$$sinα={bsinθ}/c$$ ⟶ $$α=arcsin({bsinθ}/c)$$
nel caso θ> 90° questa formula deve essere adattata a
$$π-α=arcsin({bsinθ}/c)$$
La differenza fra due vettori $a↖{→}$ e $b↖{→}$ si ottiene addizionando al primo, l'opposto del secondo.
$c↖{→}=a↖{→}-b↖{→}=a↖{→}-(-b↖{→})$
La differenza di due vettori è anticommutativa perché
$c↖{→}=a↖{→}-b↖$ ma $b↖{→}-a↖{→}=-c↖{→}$
in tal caso si avrà $c=√{a^2+b^2-2abcosθ}$
Da quello che si è visto, la differenza fra due vettori può essere ricondotta ad una somma; e la somma risultante di due vettori può essere ottenuta graficamente disponendo i due vettori consecutivamente, facendo traslare un vettore e mettendo il suo punto di applicazione sulla freccia dell'altro ( metodo punta-coda ).
La somma risultante di più vettori complanari, si potrebbe quindi trovare col metodo delle successive risultanti, considerando i vettori due a due, ma rimane un sistema comunque laborioso. Il metodo del poligono funicolare è invece un metodo grafico abbastanza facile per determinare graficamente la risultante di più vettori complanari.
Prodotto scalare di due vettori
Dati i due vettori
$a↖{→}=(a_x,a_y)$ $b↖{→}=(b_x,b_y)$
si chiama prodotto scalare ( o prodotto punto ) $a↖{→}$ per $b↖{→}$ , il numero reale
$$a↖{→}·b↖{→}=a_xb_x+a_yb_y$$
come il prodotto dei loro moduli per il coseno dell'angolo θ formato
dalle loro direzioni.
Questo prodotto viene definito in Fisica come
$$a↖{→}·b↖{→}=a·b·cosθ$$
cioè, la quantità scalare, ottenuta facendo il prodotto dei moduli di $a↖{→}$ e $b↖{→}$ per il coseno dell'angolo compreso fra i due vettori.
Prodotto vettoriale di due vettori
Il prodotto vettoriale di due vettori $a↖{→}$ e $b↖{→}$ si indica col simbolo $a↖{→}×b↖{→}$ ( si dice "a vettor b" ) è definito come un vettore.
La direzione di questo vettore risultante è perpendicolare al piano di
giacitura di $a↖{→}$
e $b↖{→}$
.
Il suo verso è tale che un osservatore avente la stessa orientazione del
vettore risultante, deve ruotare in senso antiorario il vettore $a↖{→}$
per sovrapporlo a $b↖{→}$.
Il modulo di $a↖{→}×b↖{→}$ vale:.
$|a↖{→}×b↖{→}|=ab\,sinθ$
Si vede come nel prodotto vettoriale siano implicate almeno tre dimensioni
spaziali, perché la risultante di questa operazione è perpendicolare al
piano definito dai due vettori operandi.
Se ci riferiamo ad uno spazio tridimensionale definito da una terna di
assi cartesiani x, y e z di versori, rispettivamente, $i↖{→}$
, $j↖{→}$ e $k↖{→}$
il prodotto vettoriale può essere espresso dal determinante della seguente
matrice.
Ulteriori approfondimenti sono riportati alle seguenti pagine: