Poligono funicolare

     

Il metodo del poligono funicolare è un sistema abbastanza facile per determinare graficamente la risultante di più vettori complanari.
Il poligono funicolare viene chiamato così perchè rappresenta la posizione di equilibrio che assume una fune fissata ai suoi estremi e caricata da pesi diversi in punti diversi, come ad esempio, le funi portanti delle teleferiche di montagna.

Infatti, la fune portante delle teleferiche sotto il peso dei vagoncini assume la forma di una spezzata poligonale, cioè forma il cosidetto poligono funicolare.

L'obiettivo del metodo del poligono funicolare è di trovare il valore della risultante di più forze concorrenti per via grafica.

Ipotizzando, per semplicità, di avere solo tre vettori complanari, si costruisce a partire da un punto O qualsiasi (preso arbitrariamente a piacere) una poligonale riportando i vettori a⃗ , b⃗ e c⃗ consecutivamente con la stessa intensità e con la stessa direzione.

Si individuano così i punti 1 2 e 3 . congiungendo il punto O con il punto 3 si ottiene la somma risultante R⃗ del sistema di vettori. A questo punto abbiamo trovato modulo e direzione della risultante.

Il punto di applicazione della risultante si ottiene scegliendo un secondo punto P a piacere, tracciando la parallela ad OP fino ad intersecare la direzione del vettore a⃗ nel suo punto di applicazione A; da questo punto si traccia la parallela a 1P fino ad intersecare la direzione del vettore b⃗ nel punto B; da questo punto si traccia la parallela a 2P fino ad intersecare la direzione del vettore c⃗ nel punto C; da quest'ultimo punto si traccia la parallela a P3.

Le rette passanti per A e C e parallele rispettivamente ad OP e 3P si incontrano in un punto X che è il punto di applicazione della risultante R del sistema di vettori.

La sequenza di queste operazioni viene eseguita nella seguente gif:

La costruzione del poligono funicolare si semplifica nel caso che le forze assegnate siano tutte parallele. Il questo caso la poligonale si riduce in un segmento parallelo alle forze stesse e non esistendo un lato di chiusura la sua lunghezza O3 rappresenta l'intensità della risultante.

Se il sistema è costituito soltanto da forze parallele, è vero che il poligono degenera in una retta ma noi possiamo sempre vederlo come poligono chiuso e determinare l'intensità (il modulo) della risultante ignorando il reale orientamento ed il modulo dei vari vettori ma considerando solo il loro verso.
Questo nuovo poligono sarà costituito dai vari vettori collegati come si fa col metodo punta-coda, chiuso dalla risultante. Con riferimento all'esempio precedente

prefissato all'interno del poligono un verso positivo a piacere (arbitrario) nel nostro caso quello orario, si considerano positive le forze che hanno tale senso e negative quelle che hanno senso contrario; poi si pone questa somma algebrica pari a zero

così troviamo l'intensità della risultante conoscendo soltanto l'intensità dei vari vettori da sommare. Questo metodo dove si considerano solo le intensità dei vettori è valido (ripetiamo) solo nel caso di sistemi di forze parallele e funziona anche se qualcuno dei vettori del sistema va in senso contrario rispetto agli altri come si vede sotto

è chiaro che in quest'ultimo caso l'intensità della risultante non ha niente a che vedere con la sua rappresentazione grafica, ma è il suo valore reale perchè i vettori a⃗ e c⃗ concorrono alla realizzazione di R⃗ mentre b⃗ si oppone.

Questi metodi di computazione possono essere applicati anche in alcune importanti formule di fisica come la seconda legge della dinamica e la seconda legge di Kirchoff.

Saper costruire il poligono funicolare è molto importante, perchè permette di risolvere numerosi problemi di statica e di determinare la risultante di un sistema costituito da un grande numero di forze. Come abbiamo visto, nella maggior parte dei casi i prolungamenti dei lati estremi del poligono si incontrano nel punto X che appartiene alla retta di azione della risultante R⃗, ma non si può escludere il caso che questi due lati non si incontrino, rendendo in questo modo impossibile individuare la retta di azione della risultante. Questo accade quando il primo e l'ultimo lato del poligono funicolare risultano paralleli o addirittura coincidenti; queste sono due possibilità a cui corrispondono due situazioni distinte.

Bisogna subito specificare che se non si riesce ad individuare la retta di azione della risultante, la risultante stessa deve essere nulla poi:

● se il primo e l'ultimo lato del poligono sono coincidenti, il poligono si definisce chiuso, la risultante è nulla ed il sistema di forze è equilibrato.

● se il primo e l'ultimo lato del poligono funicolare sono paralleli il poligono si definisce aperto e tutto il sistema pur avendo risultante nulla tende a far ruotare il corpo su cui esso viene eventualmente applicato.

Punto di applicazione della risultante

     

La costruzione grafica del poligono funicolare non permette di individuare il punto di applicazione della risultante del sistema di forze; per poter effettuare questa operazione è necessario ripetere il procedimento per due volte.

Dopo aver tracciato la retta di azione r, si devono ruotare tutte le forze del sistema di un angolo α arbitrario intorno ai rispettivi punti di applicazione (noi per semplicità ruotiamo di 90° in senso antiorario). Il sistema che viene ottenuto in questo modo è equivalente a quello dato ed anche la sua risultante R' sarà identica ad R; solo che sarà ruotata di un angolo α

L'intersezione G tra la retta di azione r del sistema originario ed r' del sistema con le forza ruotate di α è chiamato centro delle forze parallele e costituisce il punto di applicazione della risultante del sistema di forze assegnato.