Funzione di trasferimento di sistemi meccanici
Per la legge di Newton della Fisica classica, è noto che un corpo, inizialmente fermo, sotto l'effetto di una forza f(t) variabile nel tempo (in assenza di attriti) subisce un'accelerazione e si mette in moto con velocità v(t).
Esiste un legame fra la sollecitazione ( la causa forzante ) f(t)
e la risposta del sistema costituito dalla velocità; noi vorremmo trovare
questo legame. Rappresentato con lo schema a blocchi sopra disegnato,
questo legame è dato dalla funzione di trasferimento G(t).
Per la legge di Newton ( II legge della Dinamica ) dunque:
poi 
quindi 
Si nota che in questo tipo di problemi la conclusione è sempre una equazione
integro-differenziale più o meno articolata e più o meno difficile da
risolvere.
Per ragioni di comodità di calcolo, talvolta, si preferisce usare un approccio
attraverso la trasformata di Laplace; per il teorema III qui
visto :
è stata fatta l'ipotesi che il corpo fosse inizialmente fermo. Si ricava:
G(s) è la funzione di trasferimento del sistema.
Nota la f.d.t. la risposta v(t) del sistema dipende esclusivamente
dalla forza in ingresso, se ipotizziamo che questa sia costante:
avremo
di conseguenza
se invece di studiare il legame fra forza applicata e velocità ci interessa avere come variabile di uscita la posizione x (spostamento) dell'oggetto considerato
si
ha 
e
anche
torniamo alla seconda legge della Dinamica
sempre
per il teorema III di Laplace
applicata
allo spostamento x
se ipotizziamo che la posizione iniziale sia x=0 e che la velocità iniziale sia nulla x'=0
con
anche in questo caso, per semplicità, pensiamo di applicare una forza costante; risulterà essere
quest'ultima coincide, ovviamente, con la 
della
Fisica classica, ottenuta coi metodi dell'Analisi Matematica.
La presenza di dell'attrito viscoso si caratterizza in Meccanica con una forza resistente
(
negativa perché si oppone alla direzione della forza agente f )
con β=coefficiente di attrito viscoso mentre v=velocità;
il principio di D'Alembert afferma:
m·a=forze attive + forze resistenti
supponiamo di voler determinare la velocità mantenendo la forza come variabile di ingresso.
mantenendo le stesse ipotesi sulle condizioni iniziali ( per t=0 ) con f(t)=fo.
mentre 
dalla tabella delle trasformate si ha
Oscillatore armonico
E' il caso delle vibrazioni forzate di una molla già viste, dove il principio di D'Alembert viene scritto come
supponiamo di voler stabilire la relazione fra velocità e forza senza che vi sia smorzamento β.
Dai teoremi sulla trasformata sappiamo che se
la
funzione di trasferimento 
poi sostituendo la f(s)
con
Oscillatore smorzato
Il caso delle oscillazioni smorzate è già stato valutato nel caso della molla
con
le stesse valutazioni fatte prima avremo
nel campo della variabile complessa s:
anche
in questo caso se 
la risposta nel tempo dipende dalle radici del trinomio al denominatore; se ammettiamo due radici reali distinte a e b si può applicare la formula dalla tabella:
Se le radici sono reali coincidenti pari ad a, si applica la
altrimenti si applica la
con 
e 
si
nota inoltre
e 
quindi
Moto rotatorio
In Meccanica applicata, è il problema di un albero soggetto ad una coppia
che deve essere trasmessa.
I Fisici preferiscono parlare di un cilindro in rotazione di momento di
inerzia pari a J sotto l'azione di una coppia C che nella
letteratura può anche essere chiamata MT ( momento torcente
) o τ ; con θ viene indicato l'angolo formato
con un asse convenzionale mentre ω è la velocità angolare.
E' dimostrato
che risulta:
o
meglio 
applicando il teorema III di Laplace
imponendo come condizioni iniziali θ(0)=0 e ω(0)=0
si ha 
la funzione di trasferimento fra lo spostamento angolare θ e la coppia è
se si vuole trovare la risposta nel dominio del tempo, basta antitrasformare. Nell'ipotesi che il sistema sia soggetto alla coppia costante Co con
in presenza di attrito viscoso, la coppia deve bilanciare anche quest'ultimo
di
conseguenza
con
le stesse condizioni iniziali di prima
Il coefficiente di attrito β deve essere dimensionalmente compatibile con l'equazione impostata; se stiamo facendo un bilancio di forze si parla di [Kg/s] o [Ns/m] ; se si tratta di un bilancio di coppie ( come in questo caso ) si ha [Nm2/s].
Schemi elettrici equivalenti
Si intuisce che il comportamento di sistemi meccanici può essere ricondotto a schemi elettrici per essere in questo modo più facilmente studiato; bisogna riassumere il comportamento dei vari componenti elettrici nel dominio della variabile complessa s di Laplace.
Gli ultimi due componenti a destra, sono rispettivamente un generatore di tensione costante di valore E ed un tradizionale generatore in alternata di valore E·sinωt.
Per il generico oscillatore si avrebbe
facciamo corrispondere la forza applicata alla tensione e la velocità alla corrente se si vuole il circuito serie; oppure il contrario se si vuole fare il circuito parallelo.
