Trasformata di Laplace

      

La trasformata di Laplace è una operazione che si esegue sulle funzioni a variabile reale per trasformarle in funzioni a variabile complessa.

Questa operazione, contrariamente a quello che si può pensare, consente di apportare notevoli semplificazioni nei calcoli matematici.

Facciamo considerazioni solo su funzioni del tempo che sono quelle più ricorrenti nello studio dei fenomeni fisici; quindi il tempo viene considerato come variabile reale, indipendente, e le sue funzioni f(t) vengono definite per t>0 considerando nulle le f(t) per t<0.
Indichiamo con s la variabile complessa s=σ+jω (pulsazione complessa) e con F(s) la funzioni a variabile complessa.

Data una funzione f(t) reale e nulla per t<0, si definisce trasformata di Laplace della f(t) e la si indica con:  la seguente funzione

dove s=σ+jω è la pulsazione complessa.
La f(t) viene moltiplicata per il termine e^-st ed integrata rispetto a t tra i limiti ( la s risulta costante rispetto al tempo t).

Nell'operazione di integrazione il tempo viene a sparire e si ottiene una funzione nella sola variabile s cioè una funzione di una variabile complessa.

1]   

Si tratta della funzione a gradino unitario, quindi f(t)=1 per t>0 ed f(t)=0 per t<0.

2]   

4]   

che è riscrivibile come

ponendo jωt=kt come nel caso precedente. Per evitare di calcolare ogni volta la trasformata di una funzione si può far uso della tabella riportata in questa pagina.

Teoremi sulla trasformata di Laplace

      

1] La trasformata del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della trasformata della funzione per la costante stessa.

      con     

2] La trasformata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle trasformate delle singole funzioni

quindi sono possibili combinazioni lineari. Teorema della linearità:

                    con a e b costanti.

3] La trasformata della derivata di una funzione è uguale ad s volte la trasformata della funzione stessa meno il valore che assume la f(t) all'istante t=0.Teorema di derivazione di f(t):

      

da questa formula si deduce l'espressione della trasformata di Laplace per le derivate seconda, terza, etc..

Esempio:calcolare la trasformata di Laplace di nota la regola

e sapendo,inoltre che       si ottiene

4] La trasformata dell'integrale di una funzione è uguale alla trasformata della funzione stessa divisa per s. Teorema dell'integrale:

    

si deduce         e        

5] La trasformata di una funzione moltiplicata per t è uguale alla derivata della trasformata della funzione rispetto ad s cambiata di segno.Teorema della derivata di F(s):

              o anche

infatti dalla definizione di trasformata di Laplace si ha:

Esempio: calcolare la L[t²]; se pensiamo che t²=t· t e che      si ha che

6] Teorema della traslazione:

     

esempio: calcola la

Sapendo che

7] Teorema del ritardo:

posto   per la definizione di trasformata di Laplace:

si vede che è nullo il contributo dell'integrale nell'ntervallo [0,t₀] ed essendo dx=dt:

             ottenendo

8] Trasformata di funzioni periodiche: Sia f(t) una funzione periodica di periodo T, nulla per t<0 ed f*(t) la funzione corrispondente al primo periodo.

       

Questa formula permette di ricavare la trasformata di Laplace di molte funzioni periodiche di interesse elettronico.

Se la F(s) non ha poli nel semipiano destro è anche possibile applicare i seguenti teoremi:

9] Teorema del valore iniziale:        

10] Teorema del valore finale:            

Antitrasformata di Laplace

      

L'operazione di antitrasformazione, consiste nel risalire da una funzione di variabile complessa , a quella di variabile reale, la cui trasformata coincide con la funzione di partenza.

                 trasformata

             antitrasformata

non tutte le funzioni a variabile complessa sono antitrasformabili.

Nella teoria dei controlli automatici, la funzione da antitrasformare, può essere una relazione rappresentativa tra una causa ed un effetto , in particolare può esprimere il rapporto fra l'ingresso e l'uscita di un sistema.

In generale la funzione di trasferimento di un sistema lineare è un rapporto fra due polinomi della variabile s:

Le radici del polinomio del numeratore z₁,z₂,..z_m sono dette zeri e per questi valori la funzione di trasferimento si annulla.
Le radici del polinomio al denominatore p₁,p₂,..p_n sono dette poli e per questi valori la funzione di trasferimento vale infinito.
Gli zeri o i poli di valore nullo sono chiamati poli e zeri nell'origine In particolare un polo nell'origine introduce una integrazione perché, per il teorema dell'integrale la trasformata dell'integrale di una funzione effettua una divisione per s; uno zero nell'origine, introduce una derivazione (per il teorema della derivata). Noti i poli e gli zeri di una f.d.t. la T(s) può assumere due forme equivalenti dette canoniche.

1a forma canonica.

con j differenza fra il numero di poli e di zeri nell'origine.

2a forma canonica.

dove         e       

K=guadagno statico; è il valore della T(s) quando s=0 (supponendo j=0). Le τ_i vengono dette costanti di tempo del sistema.
Nota la f.d.t. T(s) è possibile determinare la risposta y(s) ad una data sollecitazione x(s); infatti:

Particolare importanza riveste lo studio della risposta di un sistema ad un segnale a gradino unitario con x(t)=1 e x(s)=1/s; si tratta dunque di antitrasformare l'uscita y(s) che risulta essere in definitiva una funzione razionale fratta nella variabile s.

dove N(s) è un polinomio di grado inferiore o uguale a D(s) , questo perché in un sistema reale al tendere ad infinito di s l'uscita deve tendere ad un valore finito (non può aumentare indefinitivamente). In questo contesto risulta utile scomporre la y(s) in frazioni parziali.

ottenendo con il metodo dei residui

A₀ è nullo se il grado n del denominatore è maggiore del grado m del numeratore.
Se m=n si ha A₀=a_m termine noto di N(s).
Se nella formula risulta a_m=b_n=1 valgono le seguenti proprietà.

A] se n≥m+2 la somma dei residui vale zero    

B] se n=m+1 la somma dei residui vale 1           

 

Risoluzione di una equazione differenziale lineare con la trasformata di Laplace

      

Data l'equazione differenziale     con le condizioni iniziali:

                 e             

ricavare la x(t) che soddisfi l'eq. data. Indichiamo  

trasformando e applicando i teoremi [1] e [2]       

Applicando il teorema [3] si ha

raccogliendo a fattor comune i termini in X(s)      ottenendo 

La x(t) si trova antitrasformando la X(s)           scomponendo

da cui si ricava   

La trasformata di Laplace , fornisce la soluzione direttamente tenendo conto delle condizioni iniziali, mentre col metodo classico occorre trovare prima la soluzione generale e poi imporre le condizioni iniziali.

Applicazione della trasformata di Laplace ai circuiti elettrici

      

             legge di Kirchoff all'unica maglia

si eseguono le trasformate di entrambi i membri.

quest'ultima può essere scritta direttamente rappresentando il circuito nel modo seguente:

In modo del tutto analogo sarà possibile ottenere altre grandezze di interesse. Ad es. qualora interessasse conoscere l'andamento della v_L(t) applicando la regola del partitore di tensione si potrebbe ottenere:

Bisogna fare attenzione se nel circuito già esistono delle cariche iniziali sul condensatore oppure se vi sono delle correnti iniziali nelle induttanze.

Se in una induttanza circola una corrente iniziale i₀, nel circuito in serie alla reattanza sL vi sarà una f.e.m. di valore Li₀ , con il morsetto + nel verso positivo della i₀.

Se un condensatore è inizialmente carico ad una tensione v₀, occorre considerare in serie alla reattanza 1/sC una f.e.m. di valore v₀/s con il morsetto + coincidente con l'armatura positiva del condensatore.

Riassumendo le regole generali per il calcolo simbolico con la trasformata di Laplace:

[a]- si sostituiscono tutti i generatori v(t) con f.e.m. continue di valore pari alle trasformate delle v(t).
[b]- tutte le resistenze con resistenze di ugual valore.
[c]- si sostituiscono tutte le induttanze L con reattanze di valore sL eventualmente in serie con una f.e.m. di valore Li₀, dove i₀ è la corrente iniziale nell'induttanza.
[d]- si sostituiscono tutti i condensatori di capacità C con delle reattanze di valore 1/sC eventualmente in serie con una f.e.m. di valore v₀/s dove v₀ è la tensione iniziale ai capi del condensatore.
[e] - si considerano le correnti e le tensioni così calcolate come le trasformate di Laplace delle effettive grandezze.

ma la I(s) sarà data dalla somma delle f.e.m. diviso l'impedenza vista dalla I(s) stessa.

                  semplificando

poi decomponendo in fattori

antitrasformando si ottiene          

Sistemi del primo ordine

      

In elettronica, corrispondono formalmente ai filtri del primo ordine, di cui si è già studiata la risposta in frequenza. La funzione di trasferimento ha la forma :

mentre il segnale di ingresso a gradino x(s)=1/s. Si ha dunque:

    antitrasformando     

Sistemi del secondo ordine

      

In elettronica, corrispondono formalmente ai filtri del secondo ordine, di cui si è già studiata la risposta in frequenza. La funzione di trasferimento ha la forma :

mentre il segnale di ingresso a gradino x(s)=1/s. Si ha dunque:

la sua antitrasformazione dipende dal valore dei poli del trinomio di secondo grado al denominatore. Oltre alla pulsazione naturale ω_n , si notano lo smorzamento ζ e il fattore di merito Q con.

i poli del trinomio valgono
a] per ζ>1 i poli sono reali distinti.
b] per ζ=1 i poli sono reali coincidenti.
c] per ζ<1 i poli sono complessi coniugati.

a] poli reali distinti; si avrà
per ogni valore di ζ>1 p₁ e p₂ sono entrambi reali e negativi, la risposta al gradino è:

                      si ha

                                                                   con

       notando che

b] poli reali coincidenti : si deve avere lo smorzamento ζ=1 , il trinomio al denominatore diventa:

               con             

La risposta al gradino diventa :                  

quast'ultima è riscrivibile come:               

notando che          
 qui la risposta qualitativa per ζ≥ 1 con poli reali

c] poli complessi coniugati : si verifica se ζ<1 , e si ha

è possibile dimostrare che la risposta al gradino è:

viene quantificato l'overshoot come    

quindi all'istante t_p l'uscita vale  

e il tempo di salita                                      

qui la risposta qualitativa per ζ<1 con poli complessi coniugati