Momento di inerzia

Il momento d'inerzia è una grandezza fisica che misura la resistenza di un oggetto a cambiare il suo moto rotazionale.
Si calcola rispetto all'asse di rotazione e dipende dalla distribuzione di massa dell'oggetto e dalla distanza dei suoi elementi di massa dall'asse.
Maggiore è il momento d'inerzia, maggiore sarà la resistenza dell'oggetto a cambiare la sua velocità di rotazione.

Momento di inerzia di una superficie

Ipotizziamo una generica superficie di area A e supponiamo che questa possa essere suddivisa in un grande numero di piccole aree elementari a_i , ipotizziamo,inoltre, una retta r complanare con la superficie data.

Viene definito momento di inerzia della superficie rispetto alla retta (r) assegnata, la sommatoria dei prodotti delle singole aree elementari a_i per i quadrati delle rispettive distanze

[m⁴]

A differenza del momento statico che può assumere valori positivi, negativi o nulli, il momento di inerzia è una grandezza sempre positiva, perchè anche se le distanze y_i possono assumere valori positivi o negativi rispetto alla retta (r) il loro quadrato è sempre positivo.

Teorema di trasposizione di Huygens

Consideriamo una superficie generica A di cui sia nota la posizione del baricentro G e si sia calcolato già in precedenza il momento di inerzia I_xo rispetto ad una retta x_o passante per il baricentro.

Se vogliamo ottenere il momento di inerzia I_x della superficie rispetto ad una retta x parallela ad x_o e distante d da essa, si può dimostrare che è

Raggio di inerzia

Nel caso del momento di inerzia di una superficie non è più valido il teorema di Varignon ma vale una relazione analoga

dove il termine ρ_i non rappresenta la distanza della retta x dal baricentro G della superficie ma la distanza fittizia della retta dal punto in cui si dovrebbe concentrare tutta l'area A della superficie per ottenere lo stesso momento di inerzia.
Il termine ρ_i [m] è denominato raggio di inerzia.

Momento centrifugo di superficie

Viene definito momento centrifugo (o prodotto di inerzia) di una superficie rispetto a due rette qualsiasi x ed y, la somma dei prodotti delle singole aree elementari a_i per le rispettive distanze dalle due rette.

[m⁴]

ha le stesse dimensioni del momento di inerzia, ma a differenza di esso può assumere valori negativi, positivi o nulli.

Momento polare di inerzia

Si definisce momento polare di inerzia di una superficie rispetto ad un punto P, complanare alla superficie, la sommatoria dei prodotti delle singole aree elementari a_i per i quadrati delle rispettive distanze d_i dal punto P.

[m⁴]

Se si imposta una coppia di assi cartesiani perpendicolari passanti per il punto P è possibile esprimere la generica distanza

dunque:

Il momento di inerzia polare I_P rispetto ad un punto P è uguale alla somma dei due momenti di inerzia assiali I_x e I_y calcolati rispetto alle due rette perpendicolari passanti per P.
Anche per il momento polare di inerzia è possibile applicare la formula di trasposizione di Huygens

con I_o momento polare rispetto al baricentro G e d distanza del baricentro dal punto P.

Momento di inerzia di un rettangolo

Per un rettangolo di base b ed altezza h il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico x_o parallelo alla base è

passando al calcolo differenziale possiamo pensare di porre l'area a_i in termini infinitesimi come a_i=b·dy

oppure ponendo l'area infinitesima a_i=dx·dy usando gli integrali doppi:

Se ci si riferisce all'asse verticale baricentrico y_o basta pensare di ribaltare il rettangolo applicando ad esso lo stesso procedimento scambiando le due dimensioni b ed h, ottenendo

Ricordando che è il momento polare di inerzia rispetto al baricentro G del rettangolo è

Momento di inerzia di un triangolo

Nel caso del triangolo le cose sono leggermente più complicate. Però abbiamo visto che per trovare il momento di inerzia di corpi bidimensionali si possono applicare gli integrali doppi ponendo a_i=dxdy area infinitesima.

Per il triangolo qui disegnato vediamo che il dominio di integrazione è limitato superiormente dalla retta y=(h/b)·x di questo bisogna tener conto quando si impostano gli estremi di integrazione.

poi applichiamo il teorema di trasposizione sapendo che tra la base del triangolo e l'asse baricentrico vi è una distanza d=h/3.

questa espressione è indipendente dalla forma del triangolo a patto (appunto) che b sia la base ed h l'altezza. In modo analogo si dimostra che

con il momento polare rispetto al baricentro

Momento di inerzia di un cerchio

Nel caso del cerchio di equazione

conviene usare le coordinate polari facendo coincidere l'origine del sistema di coordinate adottato con il centro della superficie del cerchio.

ricordando che negli integrali doppi la trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari è

Per ragioni di simmetria deve essere

di conseguenza il momento polare rispetto al baricentro

Momento di inerzia di una corona circolare

Per il momento di inerzia della corona circolare si può usare lo stesso approccio; chiaramente il suo momento di inerzia può essere ottenuto sottraendo il momento di inerzia del cerchio interno da quello del cerchio esterno

momento polare rispetto agli assi baricentrici

momento polare rispetto al baricentro della figura

Per i seguenti profili composti, invece , vale la formula

Energia cinetica nel moto rotatorio

Consideriamo una puleggia che ruota di moto circolare uniforme e immaginiamo di decomporla in tante particelle uguali di massa m₁ m₂ m distanti rispettivamente r₁ r₂ r dal centro di rotazione O.

La particella m sulla periferia, ruota alla velocità periferica v della puleggia di raggio r.

con ω velocità angolare della puleggia

Adesso pensiamo al lavoro necessario per far acquistare ad ogni singola massa elementare una certa velocità v. Esso è pari a

Il lavoro totale, sarà la somma di tanti lavori parziali

quindi

cioè

si definisce in questo modo il momento di inerzia di massa:

e si avrà

Si vede come la formula sia in stretta analogia con l'espressione dell'energia cinetica del moto traslatorio, dove il lavoro svolto è formalmente

con la differenza che al posto della velocità di traslazione viene sostituita la velocità angolare e la massa viene sostituita dal momento di inerzia.

Il momento di inerzia di massa è, dunque, strettamente legato alla eventualità che un corpo rigido possa ruotare; esso rappresenta la reazione di inerzia che il corpo oppone alle forze che tendono a farlo ruotare attorno ad un determinato asse.

Momenti d'inerzia assiali di massa

Il momento di inerzia ora calcolato si riferisce all'asse di rotazione della puleggia che poi coincide con il baricentro della puleggia stessa, non sempre l'asse di rotazione di un corpo rigido passa per il suo baricentro dunque più in generale:

Si definisce momento d'inerzia assiale di massa J di un solido, rispetto ad una retta k prefissata, la sommatoria dei prodotti delle singole masse elementari m_i per i quadrati delle rispettive distanze r_i valutate dal centro delle masse alla retta r.
In forma analitica:

[ kg·m² ]

Per i momenti di inerzia assiali di massa valgono le stesse proprietà già viste per i momenti di inerzia delle superfici.

• Il momento d'inerzia di massa è una grandezza che assume il valore minimo quando è calcolato rispetto a un asse baricentrico;

• Noto il momento d'inerzia di massa rispetto a un asse baricentrico x_o si può valutare il momento rispetto a un altro asse x parallelo a x_o posto a distanza d dal primo, con formula di trasposizione:

La nozione di raggio di inerzia ( o raggio giratore ) è presente anche nella definizione del momento di inerzia di massa

Noto il raggio d'inerzia ρ il momento d'inerzia si ottiene moltiplicando la massa totale m del corpo per il quadrato del raggio d'inerzia stesso:

Questa semplice regola pratica consente il calcolo del momento d'inerzia di massa di qualsiasi solido cilindrico o prismatico (a sezione costante) rispetto al proprio asse geometrico.
Non si può operare allo stesso modo sui solidi di tipo diverso (per esempio,cono o piramide), non essendo costante la sezione nei diversi punti dell'asse.

Momento di inerzia di un cilindro

I corpi cilindrici ruotano quasi sempre intorno al loro asse geometrico ;dobbiamo perciò calcolare il momento d'inerzia di massa di un cilindro rispetto a quell'asse.

Si ricava il raggio di inerzia ρi dal momento polare di superficie riferito al centro di una sezione normale all'asse geometrico e poi si moltiplica il suo quadrato per per la massa m del cilindro.

dividiamo per l'area del cerchio A:

ottenendo poi il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione

Momento di inerzia di un prisma retto a sezione quadrata

Se, ad sempio,consideriamo un prisma retto di lunghezza L, a sezione quadrata e di lato b, il momento d'inerzia baricentrico rispetto al centro della sezione è :

si ha

di conseguenza il momento di inerzia di massa rispetto al suo asse longitudinale

Momento di inerzia di un cilindro cavo

Nel caso del cilindro cavo la sezione normale all'asse geometrico è una corona circolare di raggi r_e (esterno) e r_i (interno), il momento d'inerzia polare rispetto al centro di tale corona ha l'espressione: