Integrale doppio

Individuiamo nel piano xy un campo A di contorno (o frontiera) dove sia definita una funzione continua z=f(x,y) ad un solo valore di z. Il campo A, sia interamente contenuto in un rettangolo MNPQ, con le prerogative

a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d

ed abbia la caratteristica che qualsiasi parallela all'asse x oppure all'asse y incontri la frontiera l al più in due punti. La frontiera è scomponibile in due coppie di curve:

La prima coppia con c ≤ y ≤ d
ZSG di equazione x=ψ₁(y)
ZWG di equazione x=ψ₂(y)
con c ≤ y ≤ d ; è costituita da funzioni ad un solo valore di x

La seconda coppia con a ≤ x ≤ b
SZW di equazione y=ϕ₁(x)
SGW di equazione y=ϕ₂(x)
con a ≤ x ≤ b ; è costituita da funzioni ad un solo valore di y.

Se fissiamo un valore y=y₁ con c ≤ y₁ ≤ d, cioè tracciamo una retta parallela all'asse x. I punti del campo A che hanno ordinata y₁ hanno ascissa compresa tra ψ₁(y₁) e ψ₂(y₁) (segmento HK) . In questi punti la funzione z=f(x,y) diventa funzione della sola variabile x cioè:

z=f(x,y₁) con ψ₁(y₁) ≤ x ≤ ψ₂(y₁)

L'integrale definito ordinario

dà il valore dell'area S₁ della superficie sopra il segmento HK e sotto la linea z=f(xy).
Supponiamo che la funzione z=f(x,y) sia integrabile qualunque sia il valore dato ad y compreso tra c e d; l'integrale:

[ I ]

dà una funzione di y che acquista un determinato valore per ogni y in c,d. L'espressione [ I ] è dunque un integrale definito ma dipendente dal parametro y.

Considerando sempre il campo A e tracciando una retta parallela all'asse y di equazione x=x₁, con considerazioni analoghe a quelle che hanno portato alla
[ I ] si giunge all'integrale definito dipendente da x che fornisce un valore determinato, qualunque sia il valore dato ad x nell'intervallo (a,b), valore che geometricamente rappresenta l'area della superficie che sta sopra il segmento HK e sotto la curva z=f(x,y)

a) nel caso della [ I ] si dice che l'integrazione è fatta lungo le linee parallele all'asse x
b) nel caso della [ II ] si dice che l'integrazione è fatta lungo le linee parallele all'asse y

[ II ]

Calcolo di integrali doppi con integrazioni successive

Nell'ipotesi che la funzione g(y) della [ I ] sia continua nell'intervallo (c,d) allora esiste l'integrale definito

[ III ]

se sostituiamo la [I] nella [III]

si arriva ad una espressione dall'aspetto insolito ma facile da interpretare: si calcola prima l'integrale (dipendente da y) più interno quindi quello esterno. Quest'ultima asserzione autorizza a scrivere la [ III ] come

[ IV ]

Sotto questa forma si intende che: prima si calcola l'integrale di destra (che costituisce la funzione integranda dell'integrale di sinistra) quindi si calcola l'integrale di sinistra. E' ovvio che nella prima integrazione si considera y costante. L'espressione
[ IV ] geometricamente, descrive il volume del solido delimitato delimitato dal campo A e dalla superficie z=f(x,y) questo tipo di solido viene denominato cilindroide. A scopo di verifica, riprendiamo l'area S₁ della superficie sopra il segmento HK data dall'integrale definito

incrementando y₁ di dy, il prodotto S₁·dy fornisce il volume del solido sopra il settore HKK₁H₁ pertanto il volume del settore generico è

integrando quest'ultima tra c e d si ottiene il volume V:

[ V ]

a quest'ultima, si giunge integrando per linee parallele all'asse x (HK è parallela ad x). Se si integra lungo linee parallele all'asse y si giunge al volume del cilindroide disegnato

[ VI ]

I due integrali [V] e [VI] possono essere formalmente scritti

[ VII ]

In quest'ultima dσ è l'elemento di superficie scelto nel campo A .Per dσ=dx·dy (area del rettangolo infinitesimo del campo A di dimensioni dx e dy) si ha

si tratta dell'integrale doppio esteso al campo A, di f(x,y) in dxdy e viene denominato integrale di campo.

Per il calcolo dell'integrale di campo si fa uso della [V] o della [VI], cioè ad integrazioni successive , a seconda che si disponga della coppia x=ψ₁(y) ed x=ψ₂(y) di funzioni nelle quali si spezza il campo A (integrazione per linee parallele all'asse x) oppure che si disponga della coppia y=ϕ₁(x) e d y=ϕ₂;(x) (integrazione per linee parallele all'asse y).

Si può notare che se il campo si riduce ad un rettangolo, la [V] e la [VI] diventano rispettivamente

[ VIII ]

[ IX ]

Esempio 1

Nel disegno il campo A è definito dalle linee x=1, x=3, y=-2, y=5 .Si può integrare prima per linee parallele ad x

oppure si può integrare prima rispetto ad y :

Esempio 2

Il campo A viene definito dalle linee y=0 ed y=1-x².
Integrando prima rispetto ad y (per linee parallele all'asse y :segmento PQ)

Se invece si volesse integrare prima rispetto ad x (cioè per linee parallele all'asse x:segmento MN) si deve osservare che al variare di y tra 0 ed 1, x varia tra l'ascissa di M e quella di N, quindi tra e (ottenute dall'eq. della parabola)

Esempio 3

Il campo di integrazione A è il cerchio x²+y²=r²
Per x=cost. si ha (segmento PQ) Se integriamo prima rispetto ad y:

In modo analogo per x=cost. (tratto MN) si ha

Esempio 4

Il campo di integrazione A è definito dalle curve

dopo aver studiato per sommi capi le due funzioni si ottiene il grafico riportato. Integrando prima rispetto ad y (segmento PQ) si ha

se si volesse invertire l'ordine di integrazione (cioè integrare prima rispetto ad x) bisogna dividere il campo A tramite la retta y=1, ottenendo i due campi A₁ ed A₂.
Per il campo A₁ : . Per il campo A₂ essendo

i limiti per la x sono

Essendo A=A₁+A₂ si ha integrando prima rispetto ad x risulta:

Esempio 5

Il campo di integrazione A è definito da y=9, y=a, y=x-2a, x=0.Integrando prima, rispetto ad x (segmento MN)

per integrare prima rispetto all'asse y (PQ:linee parallele all'asse y) occorre dividere il campo A tramite la retta x=2a

Per il campo A₁: 0 ≤ x ≤2a e 0 ≤ y ≤a
Per il campo A₂: 2a ≤ x ≤3a e x-2a ≤ y ≤a

Esempio 6:calcolare l'integrale doppio

Qui viene già assegnata si la funzione integrando che l'ordine di integrazione, si applica quindi la [I ] oppure la [ II ] ricordando che mentre si esegue la prima integrazione si considera costante la variabile integrata per seconda (y qui nel nostro caso)

Esempio 7: calcolare

Esempio 8: calcolare

Esempio 9:calcolare

Volume di un cilindroide

Si è detto che l'integrale [ VII ] può essere usato per calcolare il volume del cilindroide delimitato dal campo A e dalla superficie z=f(x,y) bisogna comunque specificare alcune cose:

1) Il cilindroide può giacere tutto dalla parte z > 0 , quidi, tutto al di sopra del piano xy; in tal caso essendo z > 0 è sempre:

2) Il cilindroide può giacere tutto sul lato z < 0 cioè tutto sotto il piano xy; in tal caso essendo z<0 è sempre

3) Il cilindroide può giacere in parte sopra ed in parte sotto il piano xy . In questo caso si cerca di suddividere A in campi la cui unione dà A ed in ognuno dei quali z acquista lo stesso segno. Ad es. in figura in A₁ è sempre z >0 ed in A₂ e z ≤. Il volume del cilindroide viene allora dato dall'integrale di campo

entrambi gli addendi al secondo membro sono positivi.

Coordinate polari

Un sistema di coordinate che ricorre spesso è il sistema di coordinate polari. Con questo sistema si usano le due coordinate

ρ:modulo
θ:argomento

Come si vede dal disegno, qualsiasi punto del piano può essere individuato indifferentemente o dalla coppia di coordinate x,y oppure dalla coppia ρ,θ. I campi di variabilità di queste ultime sono

x: y: ρ: θ:

per convenzione gli angoli θ sono positivi in senso antiorario. Le formule di trasformazione tra i due sistemi di coordinate sono

E' possibile dimostrare che per passare da coordinate cartesiane a coordinate polari si deve applicare la relazione

con A' il corrispondente valore dell'area A nel piano ρ-θ la precedente espressione, fornisce come si sa il volume del cilindroide delimitato da A e dalla superficie z=f(x,y). Nel caso si voglia ottenere la superficie S del campo A, basterà dunque, applicare la

Esempio : calcolare in coordinate polari il seguente integrale

In questo caso il campo di integrazione è il cerchio di raggio a e centro nell'origine, limitato al I° quadrante.

L'area A delle coordinate xy viene in questo modo espressa come