Baricentro

Il baricentro di un corpo è il punto in cui si concentra la massa totale del corpo. È il punto di equilibrio in cui il corpo potrebbe essere considerato come se tutta la sua massa fosse concentrata in quel punto. Il baricentro è importante in fisica e ingegneria per calcolare il comportamento di un corpo in movimento o in equilibrio.

Il concetto di baricentro può anche essere esteso, più in generale, a figure piane attraverso la nozione di momento statico.

Il momento statico di una figura piana è una grandezza fisica che rappresenta la distribuzione di massa di una figura rispetto a un asse di riferimento. In pratica, il momento statico indica la tendenza di una figura a ruotare attorno a un punto o a un asse specifico.

Il momento statico di una figura piana può essere calcolato come il prodotto tra la distanza di ogni elemento di massa dalla retta di riferimento e la massa di ogni singolo elemento, sommando tutti i contributi. Questo calcolo permette di determinare il momento statico rispetto a un asse x o y, che può essere utile per calcolare la reazione di un corpo all'applicazione di una forza esterna.

Momento statico di figure piane

Ipotizziamo una generica superficie di area A e supponiamo che questa possa essere suddivisa in un grande numero di piccole aree elementari a_i , ipotizziamo,inoltre, una retta r complanare con la superficie data.

Si definisce momento statico S della superficie assegnata rispetto alla retta r, la somma algebrica dei prodotti delle aree elementari a_i per le rispettive distanze y_i dalla retta r

questa grandezza è dimensionalmente una lunghezza al cubo, dunque secondo il Sistema Internazionale andrà misurata in m³.

Il momento statico può assumere valori negativi, positivi o nulli in relazione alla posizione della retta rispetto la superficie.

Il momento statico è positivo quando la retta è esterna alla superficie.

Il momento statico può risultare negativo quando la retta interseca la superficie ed i prodotti negativi sono più numerosi dei prodotti positivi.Il momento statico è nullo quando i prodotti negativi uguagliano quelli positivi.

Per il momento statico di una superficie vale il teorema di Varignon

A : area totale della superficie
d : distanza del baricentro della superficie G e la retta considerata

Se il momento statico di una superficie, valutato rispetto ad una retta r si annulla

e non essendo nulla l'area A questa relazione può essere soddisfatta solo per d=0 quindi la retta r passa per il baricentro della figura piana.

Il momento statico di una superficie calcolato rispetto ad un qualsiasi asse baricentrico ha valore nullo.

Questo dato può essere usato per la determinazione analitica del baricentro di una figura piana.

Prefissiamo un sistema di assi cartesiani di riferimento e calcoliamo i momenti statici rispetto all'asse x e all'asse y

dal teorema di Varignon si ottengono le coordinate del baricentro

Nelle applicazioni pratiche le aree elementari a_i sono le aree in cui si può decomporre la superficie assegnata e le rispettive distanze y_i sono misurate dai baricentri di queste aree fino alla retta considerata come illustrato nel disegno qui sotto:

Esempio: Calcolare il baricentro della seguente figura piana

Scegliamo opportunamente la coppia di assi cartesiani come disegnato sopra. Si nota come l'intera sagoma sia simmetrica rispetto all'asse y dunque il baricentro si troverà su quell'asse. Per calcolare la coordinata y_o del baricentro usiamo la formula

Baricentri di linee

Nel calcolo dei baricentri si possono presentare diverse eventualità, a partire dai baricentri delle linee

Per un segmento rettilineo il baricentro è evidentemente nel mezzo del segmento stesso.

Per un arco di circonferenza è possibile dimostrare che la posizione del baricentro è

dove R è il raggio dell'arco.

Nel caso di un segmento di parabola, il baricentro si trova sull'asse di simmetria ad una distanza y_o=0,4h dalla base

Baricentri di superfici

Per quello che riguarda le figure geometriche, ovviamente, si ha che per il rettangolo, il quadrato, il cerchio, il parallelogramma ed il rombo il baricentro G si trova nel punto di incontro dei due assi di simmetria

Nel caso del triangolo, il baricentro si è nel punto di incontro delle mediane; la sua distanza da un lato considerato come base è 1/3 dell'altezza.

Per il settore circolare è possibile dimostrare che la posizione del baricentro è in particolare, nel caso del semicerchio (α=π/2) è

Baricentro di solidi

Il termine baricentro sarebbe improprio per le superfici, nel loro caso si dovrebbe parlare di 'centro di superficie', infatti solo i corpi solidi possiedono un baricentro effettivo che costituisce il punto nel quale è applicato il peso del corpo.

Quando si considerano dei corpi solidi bisogna tener conto anche del loro spessore (sp) e della loro densità ρ.

in tal modo possiamo esprimere il peso p come

dove g=9,81 m/s² (acc.di gravità)

L'individuazione di un baricentro composto da varie sagome viene ricondotto al calcolo della posizione risultante di più forze concorrenti parallele concordi o discordi.

Ad esempio la piastra metallica qui sotto disegnata può essere immaginata composta da due elementi: il rettangolo di a×b e il triangolo di altezza c.
Si individuano i due baricentri G₁ per il rettangolo e G₂ per il triangolo; in questi punti sono applicati rispettivi pesi p₁ e p₂ di questi elementi.

si osserva la distanza tra i due baricentri parziali

dove è evidente la possibilità di impostare la proporzione

Anche nel caso non in cui i baricentri parziali non si trovino su alcun asse di simmetria

deve essere rispettata la proporzione

Questa tecnica può essere applicata anche in modo 'opposto'

dove la posizione della risultante p può essere ottenuta osservando:

con

Analisi matematica

Dal punto di vista della matematica analitica il baricentro di un sistema continuo può essere individuato attraverso la seguente procedura.
Il sistema S è definito come

dove B indica la regione di spazio occupata dal sistema mentre ρ è la densità; quest'ultima è , in generale, una funzione del punto P(x,y,z) e il suo integrale su dominio B fornisce la massa del sistema