Radicali

      

I radicali sono numeri ottenuti attraverso l’operazione di estrazione di radice, la loro importanza risiede nel fatto che attraverso questa operazione viene introdotta una nuova classe di numeri: i numeri irrazionali, che va ad ampliare le precedenti classi dei numeri interi e razionali ( o frazionari perché ottenuti dividendo degli interi).
L’estrazione di radice è a tutti gli effetti l’operazione opposta a quella di elevamento a potenza.

Per definizione la radice n-esima di un numero a è quel numero b che elevato alla n restituisce a.

      con le seguenti denominazioni

Semplicemente il radicando è pari alla radice elevato all'indice di radice.

Quando l'indice di radice non appare è sottinteso che esso vale 2.

Inoltre mentre è priva di significato; ad es.

L'indice di radice deve essere valutato con attenzione, infatti, se

n dispari: il radicando (a) e e la radice (b) sono due numeri reali (a, b ∈R); se
n pari:deve essere a≥0 e b≥0 sempre con a, b ∈R; .

Radice quadrata

      

La radice quadrata di un numero reale a, è quel numero reale b, positivo o nullo che elevato al quadrato dà come risultato a.

      con a,b ∈R e a≥0 e b≥0. Ad es.

   perché indica l'opposto di  

   non esiste nessun numero x, che elevato al quadrato restituisca un numero negativo (x²=-4). Questo giustifica la condizione richiesta a≥0 che costituisce di fatto una condizione di esistenza del radicale.

Per le frazioni si ha     poi ed in particolare è 

Modulo o Valore assoluto  

      

Nella definizione di radicale si deve evidenziare anche la condizione b≥0. Infatti, ipotizziamo b=-3

qual è l'uguaglianza corretta? Perché evidentemente 3≠-3.

Il radicale non pone problemi per a≥0.
Nel caso in cui a<0 la stessa scrittura comporta una discordanza di segni tra il primo ed il secondo membro dell'uguaglianza.
In questo caso si ricorre alla definizione di valore assoluto

si scriverà dunque   (per ogni valore di a appartenente al campo reale). Ad esempio
|5|=5
|-6|=-(-6)=6
Quindi il risultato dell'estrazione di radice risulterà sempre positivo in accordo alla condizione della definizione b≥0.

Radice cubica

      

E' definita come radice cubica di un numero reale a, e si indica il numero reale b che elevato al cubo, dà come risultato a.

Quando l'indice di radice n è dispari, le condizioni richieste al radicando e al radicale sono meno restrittive ed è sufficiente che essi siano numeri reali (a,b ∈R).

Proprietà invariantiva dei radicali

      

Moltiplicando l'indice di un radicale e l'esponente del suo radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero, si ottiene un radicale equivalente a quello originario

questo per a≥0. Perché per a<0 questà proprietà può essere falsa. Ad es. infatti:

Riduzione di radicali allo stesso indice

      

La prima conseguenza della proprietà invariantiva dei radicali è la possibilità di ridurre più radicali allo stesso indice.

Prodotto di radicali

      

     n∈N con n≠0

Quoziente di radicali

      

    n∈N con n≠0 e b≠0

Elevamento a potenza di radicali

      

     con n,m∈N n≠0 e m≠0

Estrazione di radice di radicali

      

      con n,m∈N n≠0 e m≠0

Trasporto sotto il segno di radice

      

   con a≥0. Se a<0 bisogna fare molta attenzione;ad es.

ok ma il primo termine è negativo mentre l'ultimo è positivo, per risolvere correttamente dovevamo portare soltanto il 2 sotto il segno di radice

Trasporto fuori dal segno di radice

      

    

ad.es.

Addizione e sottrazione di radicali

      

In questo caso non valgono più le regole dell'addizione e sottrazione ordinarie, cioè

          infatti

    perché          poi

         infatti

    perché        

Tuttavia è sempre possibile semplificare le espressioni che si presentano utilizzando le proprietà dei radicali, riducendo a termini simili ed eseguendo raccoglimenti a fattor comune. Un raccoglimento è ad.es.

Oppure attraverso alla riduzione di radicali simili

Razionalizzazione

      

Nelle espressioni algebriche può capitare di avere un radicale al denominatore di una frazione come

Per effettuare i calcoli, è spesso necessario che tutti i radicali siano al numeratore e questo è possibile da fare grazie all'artificio della razionalizzazione.

1° caso:   si esegue     ad es.

2° caso    si esegue   ad es.

3° caso   si esegue       oppure

   si esegue

Qui si mette in evidenza l'uso della proprietà dei prodotti notevoli (A-B)(A+B)=A²-B² , ad es.

Radicali e potenze ad esponente razionale

      

Come già visto in precedenza il legame tra radicali e potenze ad esponente razionale è molto stretto in virtù delle regole

Si possono risolvere espressioni coi radicali anche attraverso le proprietà delle potenze

Numeri irrazionali ed immaginari

      

L'operazione aritmetica di estrazione di radice, permette di introdurre una speciale classe di numeri che è quella dei numeri irrazionali. Bisogna premettere però, che ogni classe di numeri ha le sue caratteristiche. La classe dei numeri naturali

Le regole che presiedono i numeri naturali sono molto facili ed intuitive:

• Esiste un primo numero naturale : 1.
• Ogni numero naturale è precursore (precedente) di un altro numero naturale successivo.
• Nessun numero naturale è il successivo di se stesso.
• Nessun numero naturale ha più di un successore.
• Nessun numero naturale è il successore di più di un numero naturale.
• Soltanto il numero 1 non ha precursori.

Nell'insieme N dei numeri naturali, è sempre possibile eseguire l'adddizione e la moltiplicazione (operazioni interne ad N) mentre per poter fare delle sottrazioni o delle divisioni bisogna ampliare l'insieme N all'insieme Z degli interi relativi

E' già possibile associare all'insieme Z una sua rappresentazione geometrica: una retta sulla quale possono essere posti, equidistanti, gli elementi di Z.

Essendo contenuto in Z, N è un sottoinsieme di Z.
Come si sa esiste una ulteriore classe di numeri: i numeri razionali (o frazionari) .
Questo insieme viene indicato con la lettera Q ed è costituito da tutti i numeri relativi che possono essere scritti sotto forma di frazione, essi rappresentano tutti i numeri relativi (con segno) che esprimono tutti i numeri che abbiano un numero di decimali finito oppure infinito ma periodico, ad es.

Il diagramma sottostante illustra la gerarchia tra gli insiemi

Un numero irrazionale è ogni numero relativo (positivo o negativo) la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica.

Esempi di numeri irrazionali sono

L'insieme formato dall'unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali viene chiamato insieme dei numeri reali e viene indicato con la lettera R.

La rappresentazione sul diagramma di Venn deve essere aggiornata

La retta, precedentemente costruita posizionando i vari numeri a secondo della loro classe di appartenenza, viene ora completata; perché l'aggiunta dei numeri irrazionali riesce a completare la sua composizione e da retta costituita da elementi (punti) discreti ora può essere considerata una vera e propria linea retta dotata di continuità.

Sia l'insieme dei numeri razionali che l'insieme dei numeri irrazionali sono infiniti e densi sulla retta numerica; tra due numeri razionali si può sempre trovare un altro numero razionale e lo stesso vale per i numeri irrazionali; cioè: tra due numeri qualsiasi, sia che siano razionali o irrazionali, esistono infiniti numeri razionali ed infiniti numeri irrazionali.

Dopo aver disegnato sulla retta numerica tutti i numeri razionali ed irrazionali non esisteranno più spazi su di essa; i numeri reali, costituiti dall'unione dei numeri razionali ed irrazionali, riempiono completamente tutti gli spazi della retta senza lasciare nessun intervallo o punto vuoto.

Ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e ad ogni punto sulla retta corrisponde un numero reale.

Ovviamente, la storia della teoria dei numeri non finisce qui. Dopo aver definito questo ordine di cose alcuni problemi rimanevano irrisolti; ad esempio, cosa fare quando un numero si presenta sotto il segno di una radice con indice pari ?

La necessità di poter gestire anche queste eventualità ha portato alla definizione di una ulteriore classe di numeri: la classe dei numeri immaginari.

Un numero immaginario può essere identificato da qualsiasi numero reale con prefisso o postfisso 'i' (in elettrotecnica usiamo la 'j' per non confondersi con il simbolo della corrente elettrica). La lettera 'i' viene chiamata operatore immaginario. Si pone :

questo per definizione. Quindi, quando si presenta un caso come quello precedente

Radicando	Radice quadra

L'unione dei numeri reali e dei numeri immaginari andrà a costituire una nuova classe di numeri: la classe dei numeri complessi indicata con la lettera C.
Questo, però, comincia a diventare un altro argomento.