Trasmissione del calore per irraggiamento

Il trasferimento di calore per conduzione o per convezione, presuppone l’esistenza di un mezzo che sia solido, liquido o gassoso, attraversato da un flusso termico.
L’irraggiamento, invece, è un meccanismo di trasferimento che si verifica indipendentemente dalla presenza di materia, per mezzo di radiazioni elettromagnetiche.
Queste vengono emesse da qualunque corpo che si trova ad una temperatura assoluta maggiore di zero, per effetto del grado di agitazione molecolare del materiale.

Un esempio tipico di irraggiamento è costituito dall’energia che la terra riceve dal Sole, che viaggia attraverso lo spazio, in regioni prive di materia altamente trasparenti alla radiazione.

Le radiazioni elettromagnetiche, costituite da un campo elettrico ed un campo magnetico disposti su piani perpendicolari, sono caratterizzate da una lunghezza d’onda λ e da una frequenza f. Lunghezza d’onda e frequenza sono inversamente proporzionali e sono legate tra loro dalla relazione

[ m ]

nel vuoto v=c con c= velocità della luce 3×10⁸m/s.

Le radiazioni che interessano in pratica i problemi di trasmissione del calore sono le radiazioni termiche, che rientrano nel campo delle radiazioni visibili e soprattutto nel campo dell'infrarosso.

Emissione ed assorbimento di radiazioni

L'energia emessa per irraggiamento è legata alla lunghezza d'onda della radiazione dalla legge di Planck

con h=6,63×10^-34 J·s.
L'energia associata alla radiazione è tanto più grande quanto maggiore è la frequenza o quanto più piccola è la lunghezza d'onda.
Se osserviamo il disegno (sopra) l'energia aumenta passando dalle onde Hertziane, usate nelle trasmissioni radiofoniche o televisive, alle radiazioni ultraviolette, raggi X e raggi γ.

Le radiazioni che investono un corpo, vengono in parte assorbite, in parte riflesse ed in parte trasmesse attraverso il corpo. Chiamando:
α ≡ assorbività : la frazione di energia assorbita
ρ ≡ riflessività : la frazione di energia riflessa
τ ≡ trasmissività : la frazione che attraversa un corpo
si ha:

α+ρ+τ=1

La maggior parte dei corpi solidi, eccettuati quelli che sono visibilmente trasparenti o traslucidi, non trasmettono le radiazioni si ha

α+ρ =1

quest'ultima relazione viene spesso usata anche per i liquidi, ma bisogna ricordare che la trasmissività di un liquido dipende fortemente dal suo spessore.
I gas, in genere, riflettono ben poco l'energia termica radiante, per cui si ha la seguente semplificazione:

α +τ=1

per un corpo nero α=1 ρ=τ=0
per un corpo trasparente τ=1 ρ=α=0
per uno specchio completamente riflettente ρ=1 α=τ=0
per un corpo (per definizione) opaco τ=0 ρ+α=1

E' noto che un oggetto di colore nero esposto al sole si riscalda molto più degli altri a causa dell'elevato fattore di assorbimento. Al contrario i corpi che presentano superfici riflettenti o vetri trasparenti, si riscaldano solo in minima misura, essendo per lo più riflesse o trasmesse. In realtà il comportamento dei corpi non è uniforme nei confronti di tutte le radiazioni ma può variare in funzione della frequenza, o della lunghezza d'onda, della radiazione incidente . I vari fattori andrebbero sempre riferiti con maggiore precisione alle singole radiazioni monocromatiche, cioè di data lunghezza d'onda.

Corpo nero

Se il fattore di assorbimento si mantiene costante su tutto lo spettro, il corpo si definisce "uniformemente grigio" (o più semplicemente "grigio") mentre se l'assorbimento è uguale ad 1 su tutto lo spettro, il corpo si definisce nero.

Un corpo che assorbe tutta l'energia luminosa incidente assume per il nostro occhio il colore nero. In termodinamica, il corpo nero, definito nei problemi di irraggiamento ha la proprietà più estesa di assorbire tutta l'energia radiante incidente, sia nello spettro del visibile, sia al di fuori di tale spettro.

Nella pratica non esistono corpi completamente grigi oppure completamente neri ed, inoltre, queste definizioni non implicano che la superficie dei corpi sia effettivamente nera o addirittura grigia.

Se nella realtà il corpo nero non esiste, esso può però essere realizzato con buona approssimazione dalla bocca di una cavità le cui parti interne non siano perfettamente riflettenti.

Le radiazioni che incidono sul foro vengono in minima misura riflesse dalla parete interna in tutte le direzioni, con notevole attenuazione. A loro volta, la minima frazione di radiazioni riflesse viene, a sua volta, in minima misura riflessa una seconda volta e così via.

La probabilità che le radiazioni possano uscire dal foro di entrata sono minime per cui la superficie del foro di entrata (e non l'intera sfera) si comporta come un corpo nero.

Potere emissivo del corpo nero

I cosidetti corpi neri presentano anche un massimo nell'energia emessa ad una data temperatura.
Questa energia viene definita dalla legge di Stefan-Boltzmann.

con σ costante di Stefan-Boltzmann : T è la temperatura in °K.

Con il simbolo A indichiamo la superficie soggetta all'irraggiamento.
Il coefficiente ε è definito come emissività ed è variabile 0÷1 con ε=1 per il corpo nero.
L'emissività è, dunque, il rapporto tra l'energia emessa da un corpo non nero e l'energia emessa dal corpo nero alla stessa temperatura.

Distribuzione spettrale del corpo nero

Dalla legge di Stefan-Boltzmann, possiamo ulteriormente specificare la massima energia emessa ad una data temperatura su metro quadrato per un corpo nero:

In generale, una superficie, emette differenti quantità di energia alle diverse lunghezze d'onda. Il potere emissivo totale può essere espresso come

dove E_λ è il potere emissivo monocromatico alla lunghezza d'onda λ.
Per un corpo nero si ha dunque

La prima espressione accurata di E_bλ è stata determinata da Max Planck ed è

nella quale
C₁=3,742×10⁸[W/μm⁴/m²]
C₂=1,4387×10⁴[μm °K]
Gli andamenti di E_bλ sono riportati nel diagramma seguente.

E' evidente lo spostamento dal massimo dalla posizione del massimo del potere emissivo monocromatico verso lunghezze d'onda minori al crescere della temperatura. Questo fatto viene descritto dalla legge dello spostamento di Wien

[ μm·°K ] oppure

[m·°K]

L'energia E_b non è dunque uniformemente emessa al variare delle lunghezze d'onda, ma per ogni temperatura c'è una lunghezza d'onda specifica a cui si ha un massimo di emissione. Queste formulazioni evidenziano che la lunghezza d'onda di massima emissione diminuisce all'aumentare della temperatura.

Trasmissione netta di energia radiante

Consideriamo due pareti piane di uguale superficie poste una di fronte all'altra, una alla temperatura T₁ e l'altra T₂.
Se le due pareti si comportano come due corpi neri, l'energia emessa da una, verrà interamente assorbita dall'altra e viceversa l'energia emessa dalla parete 1 nell'unità di tempo è

mentre per la parete 2 avremo

se T₁>T₂ si avrà un trasferimento netto di calore, dalla parete 1 alla parete 2 dato dalla differenza tra q₁ e q₂:

q_n è il calore netto scambiato tra le due pareti nell'unità di tempo. Questa relazione è valida solo per i corpi neri, nell'ipotesi che l'energia emessa da uno, sia tutta assorbita dall'altro.

Un altro esempio è costituito da un oggetto convesso, privo di angoli (che possano generare ombre)

Volendo valutare l'energia emessa ed assorbita dalla sfera a temperatura T₂ considerando sempre i corpi neri, avremo per l'energia emessa dalla sfera

Per quanto riguarda le radiazioni emesse dal corpo cavo alla temperatura T₁ dobbiamo considerare che non tutte incidono sulla sfera ma buona parte incidono sulla parete dello stesso corpo cavo. Se l'energia emessa dal corpo cavo è complessivamente

solo una frazione di questa sarà diretta sul corpo 2. Il rapporto tra l'energia totale emessa dal corpo 1 e quella assorbita dal corpo 2 è uguale al rapporto delle superfici dei due corpi

per cui la radiazione assorbita dal corpo 2 sarà

per l'energia scambiata si ha dunque

esattamente come nel caso delle due pareti. Se il corpo 2 non è nero ma si può considerare un corpo grigio immerso in un corpo nero le equazioni diventano

dove ε è l'emissività del corpo 2. Il calore assorbito dal corpo 2 sarà

con α fattore di assorbimento. Per l'energia netta avremo

Adesso è possibile dimostrare che, per ogni materiale, il fattore di assorbimento è uguale al fattore di emissione.
Infatti se ipotizziamo che nei sistemi precedentemente visti i due corpi siano alla stessa temperatura T, lo scambio netto di energia dovrà essere nullo, per cui:

Tenendo conto delle precedenti considerazioni, l'energia netta scambiata sarà

Questa è proprio l'espressione che più comunemente viene usata per il calcolo del calore trasferito per irraggiamento. Essa è valida anche nel caso in cui un corpo è interamente immerso in un altro ambiente ad una certa temperatura, come ad esempio si verifica per qualsiasi oggetto collocato nell'atmosfera terrestre.