Diagrammi di Nyquist

La funzione di trasferimento di un sistema è una funzione analitica nella variabile complessa
s=σ+jω che in regime sinusoidale diventa s=jω.
Per un generico valore di ω la funzione diventa, a sua volta, un numero complesso:

a=parte reale di G( jω)
b=parte immaginaria di G( jω)

Chiaramente il modulo del vettore ( la sua lunghezza ) è data da

mentre l'argomento

Al variare di ω=2πf da zero a infinito, il vettore G( jω) varia in modulo e direzione.
In questo modo può essere definito un luogo geometrico ( curva ) rappresentativo della posizione del vettore G( jω) : questa curva è il diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento.
I diagrammi di Nyquist sono dunque, rappresentati su un piano complesso ( piano di Gauss ) dove l'asse delle ascisse rappresenta l'insieme dei numeri reali, mentre quello delle ordinate rappresenta i numeri immaginari.

facendo variare la frequenza f da 0 a valori molto grandi si costruisce una tabella del tipo:

In molte applicazioni, soprattutto in quelle per lo studio della stabilità di un sistema, non interessa la precisione con la quale viene tracciato il diagramma, ma la sua forma qualitativa in particolar modo l'andamento del diagramma per ω tendente a zero e a infinito.

E' possibile esaminare modulo e fase della funzione, per una specifica frequenza, anche per via grafica:
una funzione di trasferimento viene in genere espressa attraverso una funzione razionale fratta nella variabile complessa s.
Ipotizzando il polinomio al numeratore di grado m e quello al denominatore di grado n,
con n > m, si è già visto come questa possa essere rappresentata dalla prima forma canonica

fissato un certo valore di ω=ω_o il termine jω_o rappresenta un punto sull'asse immaginario e il singolo termine ( jω_o-z₁) può essere rappresentato sul piano complesso da un vettore PQ come illustrato in figura con il punto P coincidente con jω_o e il punto Q coincidente con z₁.

Il modulo del vettore vale | jω_o-z₁| mentre l'argomento è fornito dall'angolo φ che il vettore PQ forma con l'asse dei numeri reali.

Sulla base di queste semplici considerazioni, si può dire che per la generica funzione

Alla pulsazione ω_o il modulo della funzione di trasferimento è

per quello che riguarda gli argomenti, si è già notato dal tracciamento dei diagrammi di Bode che mentre gli zeri ( le radici del numeratore ) danno un contributo positivo all'argomento complessivo della funzione, i poli ( le radici del denominatore ) danno un contributo negativo.
A questa conclusione ci si può arrivare anche notando che i vari termini del tipo jω-z sono dei numeri complessi che espressi in forma polare si comportano nel seguente modo:

In pratica, l'argomento complessivo è uguale alla somma degli argomenti dei termini al numeratore ( zeri ) alla quale si sottrae la somma degli argomenti dei termini al denominatore ( poli ).
Dal disegno precedente, si vede anche che un polo o uno zero nell'origine deve sempre dare un contributo di 90°; più precisamente +90° se si tratta di uno zero e -90° se si tratta di un polo come in questo caso.

Dunque alla pulsazione ω_o si ottiene l'argomento della funzione è

Tracciamento qualitativo dei diagrammi di Nyquist

Per eseguire questa operazione, basta seguire alcune regole semplici.
E' importante riferirsi alla funzione di trasferimento posta nella seconda forma canonica

dove, si è detto, il grado m del numeratore non supera mai, il grado n del denominatore.
Se poniamo s= jω

[#]

Il diagramma nell'intorno di ω=0 risulta diverso a secondo del tipo di sistema.

Sistema di tipo zero

Nella [#] l'esponente g è nullo. In tal caso ponendo ω=0 ciascun fattore sia il numeratore che il denominatore diventa uguale a 1 e la [#] risulta uguale alla costante reale K, per cui il punto del diagramma polare ω=0 si trova sull'asse reale, si ha

ad esempio se per ipotesi nella

i due zeri sono reali distinti e i due poli sono complessi coniugati, si vede come la somma algebrica dei singoli argomenti sia nulla.

Il diagramma potrà poi partire verso il primo quadrante o verso il quarto quadrante a seconda che lo sfasamento φ( ω) diventi positivo o negativo per ω > 0.

Per poter vedere come varia φ( ω) è opportuno riferirsi alla rappresentazione grafica precedente tenendo presente che i poli e gli zeri sono i reciproci delle costanti di tempo al numeratore e al denominatore della [#] cambiati di segno e valutare lo sfasamento φ per un valore di ω non molto distante dell'origine.

Facciamo un esempio:

abbiamo solo un polo ed uno zero

dalla figura si vede che per ω=0 si ha α=0 e β=0 di conseguenza φ=0 si vede, inoltre, come aumentando la pulsazione si ha sempre α > β quindi sarà sempre

lo sfasamento sarà sempre negativo; il diagramma polare partirà dal punto +20 dell'asse reale e con uno sfasamento negativo dovrà effettuare una rotazione in senso antiorario rispetto all'origine degli assi portandosi nel quadrante IV.

Sistemi di tipo uno

Nei sistemi di tipo uno la [#] presenta un termine j al denominatore che è un numero puramente immaginario. Si è prima visto che un polo nell'origine fornisce un argomento costante di -90° per qualunque valore di ω (un numero puramente immaginario ha sempre argomento o +90° o -90° ) e tale sarà anche l'argomento di φ(0) della funzione di trasferimento per ω=0 in quanto, come si è visto per i sistemi di tipo zero, gli altri termini contribuiscono con un argomento nullo.
Per quanto riguarda il modulo si può vedere che il denominatore della [#] per g=1 si annulla quando ω=0
e quindi la G( jω) tende a .
Il punto corrispondente del diagramma polare sarà quindi sull'asse immaginario negativo all'infinito come indicato in figura

Sistema di tipo due

E' caratterizzato dall'avere due poli nulli ( g=2) ciascuno dei quali contribuisce con uno sfasamento di -90° per cui lo sfasamento complessivo è pari a 180° per ω=0.
Ragionando come in precedenza si nota come per ω=0 la G( jω) per effetto dei poli nulli diventa di modulo infinito con argomento -180° l punto corrispondente al diagramma polare si trova all'infinito sull'asse reale negativo come indicato in figura.

Per calcolare invece l'andamento del diagramma intorno di occorre tener presente il comportamento di ciascun termine 1+jωT il quale ha un modulo nel caso di T reale:

che per tende a e un argomento che per tende a ±90°.

Si deducono le seguenti regole per

I ] una costante di tempo al numeratore dal luogo ad uno sfasamento di +90° se positiva e -90° se negativa
II ] una costante di tempo al denominatore dà luogo ad un angolo di sfasamento pari a -90° se positiva e +90° se negativa.

Quindi se le costanti di tempo sia al numeratore che al denominatore sono tutte positive, come accade nella maggior parte dei casi e se il grado del numeratore m e quello del denominatore n si avrà per uno sfasamento pari a

per le costanti di tempo al numeratore e
per le costanti di tempo al denominatore per cui lo sfasamento complessivo risulta essere

avendo ipotizzato n m lo sfasamento è sempre negativo o al più nullo per n=m.
Nel caso più comune, con n>m il diagramma polare termina nell'origine degli assi ( modulo M=0 ) e l'argomento φ determina la tangente con cui il diagramma tende all'origine, come illustrato in figura..

Esempio: Disegnare il diagramma polare della funzione

Si tratta di un sistema di tipo zero con poi

n-m=1

La funzione ha un solo polo e lo sfasamento è dovuto solo a quello: l'argomento sarà sempre negativo.
Il vettore rappresentativo la funzione (in rosso) varia in modulo e in fase, portandosi per a modulo nullo ed effettuando una rotazione di