Filtri

Un filtro è un circuito selettivo in frequenza che lascia passare i segnali in una certa banda e blocca, oppure attenua, i segnali al di fuori di tale banda. I filtri possono essere attivi o passivi.

- I filtri passivi, usano solo componenti passivi (resistenze, condensatori e induttanze).
- I filtri attivi, oltre ai componenti passivi prevedono la presenza di componenti attivi come BJT, ed A.O.

Come si può intuire, i filtri attivi sono preferibili a quelli passivi, dato che introducono un guadagno (il segnale nella banda passante viene amplificato) anche se di necessitano alimentazione, introducono rumore elettrico e sono suscettibili di deriva termica.

Filtri attivi del I°ordine, passa-basso

E' consuetudine considerare la reattanza capacitiva

utilizzando la pulsazione complessa s=σ+jω che soltanto in regime sinusoidale puro coincide con la pulsazione ordinaria: s=jω .

E' possibile costruire un filtro attivo del I°ordine, attraverso la seguente soluzione circuitale:

essendo l'amplificatore invertente, dalla formula che esprime l'amplificazione si ha:

Se invece volessimo usare una configurazione . non invertente con amplificazione

Notiamo come in entrambi i casi (a meno del segno) la funzione di trasferimento sia riconducibile alla forma:

Il modulo di questa funzione viene rappresentato sul diagramma logaritmico riportato a fianco.
Vengono amplificate solo le frequenze basse, al di sotto della pulsazione di taglio

che per definizione è la pulsazione alla quale il guadagno si abbassa di 3dB rispetto al guadagno di centro banda; in prossimità di 1/τ il modulo del guadagno si abbassa al valore e si ha uno sfasamento di ±45°.

Filtri attivi del I°ordine, passa-alto

Una soluzione con A.O. in configurazione invertente è:

si avrebbe

oppure in configurazione non invertente dove è

si tratta in questo caso di una f.d.t. con un polo e uno zero del tipo:

La costruzione del diagramma di Bode è, in questo caso, leggermente più laboriosa:

Nel primo caso l'amplificazione massima in banda si ha per

Nel secondo caso

in entrambi i casi la pulsazione di taglio si ha per

Filtro attivo passa-banda

E' facile concludere come sia possibile produrre un filtro passa- banda combinando le due configurazioni precedenti.

Essendo la configurazione invertente:

il diagramma di Bode è pressoché identico a quello del filtro passa-alto, ma vi è la presenza di un polo supplementare o meglio vi sono due poli reali e distinti.

K è il guadagno a centro banda: una volta superata la pulsazione 1/τ₁ il primo polo si elide con lo zero; questo vale finché il secondo polo non inizia ad influenzare la risposta.

con ω_s=pulsazione di taglio superiore e ω_i=pulsazione di taglio superiore.
Le formule che riassumono il comportamento dei filtri del I°ordine sono:

Filtro passa-basso

La T(s) presenta un polo p= - ω_n e un guadagno statico (s→0) K_ST=K.

Filtro passa-alto

Filtro passa-banda

Filtri attivi del II°ordine

I filtri del II°ordine hanno la caratteristica di avere al denominatore della funzione di trasferimento una funzione di II°grado nella variabile s:

oppure nella forma equivalente:

dove si è posto

Le radici della D(s) forniscono i poli della funzione di trasferimento T(s).

[I]

La pulsazione ω_n è la pulsazione di taglio che caratterizza i filtri passa-basso o passa-alto. Lo smorzamento ζ e il fattore di merito Q definiscono il comportamento della risposta in frequenza.

Per ζ;>1 i poli sono reali distinti.
Per ζ=1 i poli sono reali coincidenti.
Per ζ<1 i poli sono complessi coniugati.

Per consentire un veloce passaggio tra l'intervallo di frequenza in cui vi è conduzione e quello in cui il circuito opera l'azione filtrante si impone un valore per lo smorzamento ζ<1.

Filtro passa-basso del II°ordine

La funzione di trasferimento assume la forma:

[II]

La T(s) presenta due poli che per ζ<1 sono complessi coniugati. Per s=jω il modulo e la fase valgono:

[III]

[IV]

per (zona piatta ad amplificazione costante)

mentre per

che nel grafico corrisponde ad una pendenza di -40dB/dec (due poli sovrapposti).

Se lo smorzamento il filtro è detto di Butterworth;
i poli dati dalla [I] sono complessi e coniugati e valgono:

La risposta in frequenza del filtro è la più piatta possibile; in corrispondenza della pulsazione di taglio ω_n il modulo T( jω) si riduce ad un valore rispetto al valore massimo K.
Infatti, se nella [III] poniamo e avremo

in corrispondenza della pulsazione di taglio l'amplificazione si abbassa di 3dB rispetto al guadagno massimo alle basse frequenze.

La dislocazione dei poli di un filtro del II° ordine passa-basso di Butterworth è rappresentata qui a fianco.

Per il filtro è detto di Bessel .

Se il filtro è detto di Chebyshev e rende tanto più verticale la risposta in frequenza per ω> ω_n tanto quanto più ζ è piccolo. Per ζ→0 in ω= ω_n la [III] tende ad infinito e così la pendenza della curva diventa verticale.

La pulsazione ω_M in cui |T(jω)| è massimo si ottiene ponendo a zero la derivata prima della [III] rispetto ad ω.

[V]

Sostituendo questo valore nella [III] si ha

La pulsazione ω_L si ottiene ponendo uguale a K il secondo membro della [III] ottenendo:

[VI]

se confrontiamo la [V] con la [VI] si ottiene: .

Parametri per un filtro Chebyshev di II° ordine passa basso:

Filtro passa-alto del II°ordine

La funzione di trasferimento assume la forma:

[VII]

La |T(s)| per ζ<1 presenta due poli complessi coniugati e due zeri nell'origine. In regime sinusoidale s=jω, il modulo e la fase valgono:

[VIII]

[IX]

per ( zona piatta ad amplificazione costante ) mentre per

che corrisponde ad una pendenza di +40dB/dec.

Nel caso di distribuzione di Butterworth il modulo della T(jω) si riduce di in corrispondenza di ω= ω_n. Se poniamo, infatti, nella [VIII] con ω= ω_n:

La pulsazione di taglio ω_n viene, dunque, definita sia per il filtro passa-alto che per quello passa-basso come la pulsazione che riduce di 3dB il valore massimo di |T(jω)|.

Per il filtro è detto di Chebyshev e la risposta in frequenza nell'intorno di ω_n è tanto più verticale quanto ζ è piccolo. Anche in questo secondo caso la risposta in frequenza presenta un picco di risonanza ad una pulsazione ω_M che può essere calcolata ponendo a zero la derivata prima della [VIII]:

[X]

Sostituendo questo valore nella [VIII] si ha come nel filtro passa-basso. La pulsazione ω_L si ottiene ponendo uguale a K il secondo membro della [VIII] ottenendo:

[XI]

Parametri per un filtro Chebyshev di II° ordine passa alto:

Filtro passa-banda del II°ordine

La definizione dei filtri passa-banda del II° ordine viene fatta in funzione del fattore di merito piuttosto che in ragione dello smorzamento ζ. Questo avviene per rendere assimilabili questi filtri con quelli con quelli passivi (passa-banda) di tipo RCL.
Di fatto il fattore di merito Q, definisce la larghezza di banda B:

con f_s=frequenza di taglio superiore ed f_i=frequenza di taglio inferiore. Poi si dimostra che:

con f₀=frequenza di centro-banda. La funzione di trasferimento di un filtro passa-banda del II° ordine è:

[XII]

Questa funzione ha uno zero due poli complessi coniugati per Q>1/2 In regime sinusoidale puro si ha:

[XIII]

[XIV]

In questo disegno, la risposta in frequenza al variare di Q.

Il modulo, presenta un valore massimo per ω= ω_n che vale:

Fissato Q si ha una unica curva, da cui si desumono le pulsazioni di taglio inferiore ω _i e superiore s come i valori di per i quali il guadagno si abbassa dal valore massimo K al valore .Quindi:

si hanno le rispettive frequenze

La larghezza di banda è B=f_s-f_i sottraendo membro a membro

con frequenza di centro banda.

Filtri a banda piatta

Se Q<1/2 i poli diventano reali e distinti e la risposta in frequenza presenta una banda piatta a guadagno costante compresa fra ω_i=|p₁| e ω_i=|p₂|. La pendenza di |T(jω)| fuori banda è di 20dB/dec.

Configurazioni per filtri di II° ordine

Le configurazioni fondamentali sono due:

Filtro a reazione multipla

Applicando il teorema di Millman

[XV]

ma l'operazionale è in configurazione invertente, per cui:

[XVI]

Sostituendo la [XV] nella [XVI]

[XVII]

Filtro VCVS

Applicando il teorema di Millman

[XVIII]

Infatti le due ammettenze Y₃ ed Y₅ viste dal nodo A sono in serie. La tensione sul morsetto non invertente è:

[XIX]

L'amplificatore operazionale è in configurazione non invertente e per esso vale la:

[XX]

Per la [XIX] la [XX] diventa.

[XXI]

Sostituendo la [XVIII] al posto di V_A avremo:

[XII]

con

è comodo rappresentarli in funzione delle ammettenze Y (1/Z). I filtri VCVS (Voltage Controlled Voltage Source) sono così denominati per la reazione negativa controllata in tensione.