Onde stazionarie

    

L’interferenza di due onde sinusoidali che hanno la stessa frequenza e la stessa ampiezza, ma si muovono in versi opposti, dà origine alle onde stazionarie la cui equazione, per una corda con le estremità fisse è:

Nel caso della sovrapposizione di onde abbiamo parlato di due onde sinusoidali di uguale lunghezza d'onda e ampiezza, in moto nello stesso verso lungo una corda tesa. Ora analizziamo il caso in cui due onde del genere si muovono in versi opposti? Anche in questo caso bisognerà applicare il principio di sovrapposizione.

Il disegno seguente dà una rappresentazione grafica della situazione.

Si vedono le due onde componenti, una che viaggia verso sinistra , indicata in a, l'altra che viaggia verso destra nella indicata in figura b. La figura c presenta la loro somma, ottenuta applicando graficamente il principio di sovrapposizione.

La caratteristica rilevante dell'onda che ne risulta è che vi sono punti lungo la corda, detti nodi, nei quali la corda è permanentemente a riposo. Quattro di questi nodi sono indicati dai punti rossi in figura c. A metà strada tra i nodi adiacenti si trovano i ventri (o antinodi), nei quali l'ampiezza dell'onda risultante è massima.

Onde come quella della figura c sono dette onde stazionarie perché le onde non si propagano; cioè la posizione dei massimi e dei minimi non cambia. Questo tipo di onda viene detto onda stazionaria e non più onda progressiva.

Di seguito viene mostrata l’animazione di un'onda stazionaria (rossa) creata dalla sovrapposizione di un'onda che viaggia verso sinistra (blu) e un'onda che viaggia verso destra (verde).

Se due onde sinusoidali di stessa ampiezza e lunghezza d'onda si muovono in versi opposti lungo una corda tesa, la loro interferenza genera un'onda stazionaria.

Analizziamo matematicamente le onde stazionarie, rappresentando le due onde componenti con le seguenti equazioni:

per il principio di sovrapposizione avremo

applicando la formula trigonometrica di prostaferesi già usata per i fenomeni di interferenza.

    avremo

L'onda risultante rappresentata da quest'ultima equazione è dovuta all'interferenza di due onde sinusoidali trasversali di uguale ampiezza e lunghezza d'onda, che si propagano in versi opposti lungo la stessa direzione.

Questa non è un'onda in moto perché non ha forma :

Questa equazione descrive invece un'onda stazionaria.

La quantità 2y_m può essere considerata come l'ampiezza dell'oscillazione dell'elemento di corda che è situato nella posizione x. Tuttavia, poiché l'ampiezza è sempre positiva, consideriamo come ampiezza il valore assoluto della quantità 2y_msin(kx). In un'onda sinusoidale in moto, l'ampiezza dell'onda è la stessa per tutti gli elementi della corda. Questo non avviene nel caso di un'onda stazionaria, in cui l'ampiezza varia con la posizione. Nell'onda stazionaria dell'equazione ottenuta, l'ampiezza varia come sin(kx). Per esempio, l'ampiezza è zero per i valori di kx che danno sin(kx) = 0. Questi valori sono :

$kx=nπ$ con $n=0, 1, 2, 3,...$ sapendo che $k={2π}/λ$ si ha:

     (nodi)

L'ampiezza dell'onda stazionaria ottenuta ha valore massimo 2y_m che si verifica per i valori di kx tali per cui $|sin(kx)|=1$. Tali valori sono:

    con    n=0, 1, 2, 3,...  

sapendo che $k={2π}/λ$ avremo:

    con    n=0, 1, 2, 3,...  (antinodi)

questa espressione identifica la posizione degli antinodi , anche chiamati ventri. I ventri distano reciprocamente di mezza lunghezza d'onda e si trovano a metà strada tra due nodi.

Una piccola applicazione interattiva che riguarda le onde stazionarie è presente in questa pagina.