Interferenza di onde

      

Due onde sinusoidali sulla stessa corda presentano interferenza, sommandosi o sottraendosi secondo il principio di sovrapposizione degli effetti.
Se le due onde viaggiano nella stessa direzione e hanno la stessa ampiezza ym e la stessa frequenza (e quindi la stessa lunghezza d’onda), ma differiscono in fase di un angolo di fase ϕ, il risultato è una singola onda con questa stessa frequenza.

Se ϕ=0 le onde sono in fase e la loro interferenza è completamente costruttiva; se ϕ=π esse si trovano in opposizione di fase e la loro interferenza è completamente distruttiva.

E' possibile dimostrare la relazione sopra indicata ipotizzando che le due onde siano descritte dalle due seguenti equazioni.

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Ipotizziamo che queste due onde percorrano la stessa corda con la stessa pulsazione ω (e quindi la stessa frequenza), lo stesso numero d'onda angolare k (e quindi la stessa lunghezza d'onda e la stessa ampiezza y_m. Per il principio di sovrapposizione, l'onda risultante dalla sovrapposizione sarà

    2

dunque

     3

per le formule di addizione e sottrazione sappiamo che

applicando quest'ultima regola alla formula 3 otteniamo:

      4

l'onda risultante è quindi anch'essa sinusoidale, in moto nel verso positivo delle x, ed è l'unica onda che vediamo effettivamente propagarsi lungo la corda (non si vedono materialmente le due onde separate delle equazioni 1.

Quando due onde sinusoidali aventi stessa ampiezza e lunghezza d'onda si muovono concordemente nella stessa direzione lungo una corda tesa, interferiscono a formare un'onda risultante sinusoidale che si propaga sempre nella medesima direzione.

L'onda risultante differisce dalle onde componenti soltanto per due aspetti: l'angolo di fase, che è $ϕ/2$, e la sua ampiezza, che è stata evidenziata nella formula 4.

   5

Se ϕ= 0 rad (ovvero 0°) le due onde sono esattamente in fase la 4 si riduce a:

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Le due onde sono mostrate nello schema seguente e l'onda risultante è riportata sul grafico a.
In questo caso le due onde sono esattamente in fase e producono un'onda più ampia riportata in d.

Notiamo sia dalla figura sia dall'equazione 6 che l'ampiezza dell'onda risultante è il doppio di quella delle onde interferenti. Questa è la massima ampiezza che l'onda risultante può avere, perché il coseno delle equazioni 5 e 6 presenta il suo massimo valore per ϕ= 0.
L'interferenza in questo caso è completamente costruttiva. Se ϕ= π rad (ovvero 180°), le due onde sono completamente fuori fase indicata in (b). Il fattore $cos(ϕ/2)$ diventa $cos(π/2) = 0$ e l'ampiezza dell'onda risultante (eq. 5) è zero. Abbiamo, quindi, per tutti i valori di x e t :

$y'(x,t)=0$       (con ϕ=π rad)   7

L'onda risultante è riportata sul grafico e. Si noti che, malgrado l'invio di due onde lungo la corda, non si verifica alcun moto della corda. Questo tipo di interferenza è chiamata completamente distruttiva. Dato che un'onda sinusoidale si ripete ogni 2π rad, una differenza di ϕ = 2n rad (360°) corrisponde a una traslazione di un'onda rispetto all'altra di una lunghezza d'onda esatta. La differenza di fase si può quindi esprimere anche in termini di lunghezze d'onda.
Per esempio nella figura b le onde sono sfasate di mezza lunghezza d'onda.
Nella tabella seguente riportiamo alcuni altri esempi di sfasamenti e dell'interferenza che producono.

Quando l'interferenza non è né completamente costruttiva né completamente distruttiva, l'ampiezza dell'onda risultante presenta valori intermedi tra 0 e 2y_m.
Per esempio dalla tabella osserviamo che per due onde sfasate di 120° ( $ϕ= {2π}/3$ rad = 0,33 lunghezze d'onda), l'onda risultante ha un'ampiezza pari a y_m, la stessa delle onde interferenti fig. c e fig. f.

Il risultato non cambierebbe se volessimo studiare l'interferenza tra le due onde in termini della funzione coseno.

quindi

per le formule di prostaferesi

applicando questa formula a quella immediatamente precedente:

abbiamo sempre una funzione sinusoidale con ampiezza pari alla formula 5.

In questa pagina è presente una piccola applicazione interattiva sull'interferenza di onde progressive.