Equazione della corda vibrante
Il moto di un’onda in un mezzo materiale può avvenire unicamente sfruttando le caratteristiche di elasticità (energia potenziale) e inerzia (energia cinetica) associate al mezzo stesso. L’inerzia è assicurata dalla massa del materiale, o meglio dalla sua massa lineica ( massa sull’unità di lunghezza $μ=m/l$ ), l’elasticità è strettamente legata alla tensione τ che viene a generarsi su ogni elemento elementare del mezzo, conseguenza dell’azione delle forze esterne. In presenza di questi "ingredienti" l’onda è in grado di muoversi con velocità $v=√{τ/μ}$ attraverso il mezzo trasferendo energia.
Ipotizziamo una corda tesa, interessata da un’oscillazione che per semplicità consideriamo un’onda armonica sinusoidale, quindi trasversale. In particolare prestiamo attenzione ad un elemento arbitrariamente piccolo di corda elemento di corda di massa dm e lunghezza l rappresentato nel disegno seguente.
Quando un'onda transita attraverso l'elemento della corda in tensione, l'elemento si muove perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell'onda (onda trasversale). Come si vede nello schema a ai due estremi dell'elemento agiscono le forze F2 ed F1, che imprimono all'elemento l'accelerazione a con componente verticale ay.
Facciamo l'ipotesi che l'ampiezza d'onda sia piccola in modo che l'angolo
formato dall'elemento di corda con l'asse x al passaggio dell'onda sia sempre
modesto.
La forza F2 alle stremo destro dell'elemento ha modulo pari alla
tensione τ della corda e una certa inclinazione rispetto all'asse x.
La forza F1, presente all'estremo sinistro ha la stessa intensità ma una direzione meno inclinata rispetto allo stesso asse e il verso discorde con quello di F2.
Proprio a causa della leggera curvatura dell'elemento di corda,
le due forze hanno una risultante non nulla che imprime all'elemento di
corda un'accelerazione ay, verso l'alto.
Per la seconda legge di Newton relativa alle componenti y si ha:
1
La massa dell'elemento dm può essere espressa in funzione della massa lineica μ e della sua lunghezza l come dm =μl. Grazie alla limitazione che abbiamo posto sull'inclinazione dell'elemento, possiamo approssimare l≅dx .
2
L' accelerazione ay che figura nella 1 è la derivata seconda rispetto al tempo dello spostamento y:
3
Dallo schema b si vede come F2 sia
tangente alla corda nel punto estremo destro dell'elemento. Possiamo quindi
esprimere il rapporto tra le sue componenti ortogonali come la pendenza
s2 della corda in quel punto.
Col simbolo s (slope) indichiamo la tangente trigonometrica dell'angolo
d'inclinazione.
4
Queste componenti sono anche legate al modulo F2=τ dall'espressione:
5
Per l'assunzione fatta sulla limitatezza dell'inclinazione, risulta che F2y<<F2x e quindi la 5 diventa:
6
Sostituendo quest'ultima nell'equazione nella 4 e isolando F2y, otteniamo:
7
Procedendo in modo simile per l'estremo sinistro dell'elemento di corda si ha:
8
Ora possiamo introdurre le equazioni 2, 3, 7 e 8 nella 1, ottenendo
9
Nell'ultima espressione siamo passati alle derivate parziali perché nel termine di sinistra la derivata si opera solo rispetto a x e nel termine di destra si deriva solo rispetto a t. Per concludere, introducendo la formula della velocità $v=√{τ/μ}$ troviamo:
equazione
della corda vibrante
questa equazione differenziale descrive il moto di onde di tutti i tipi in un mezzo meccanico dotato di massa ed elasticità.