Esercizio 3

Si lascia cadere una pietra in un pozzo. Il tonfo in acqua viene udito 3 s dopo. Qual è la profondità del pozzo?

Soluzione

Chiamiamo $t_c$ il tempo di caduta della pietra nell'acqua e chiamiamo $t_s$ il tempo impiegato per sentire il suono del tonfo. Il tempo totale trascorso dal rilascio della pietra fino al momento in cui si ode il tonfo è t$=t_f+t_s$. Se d è la profondità del pozzo dovremmo avere:

$$d=1/2gt_f^2 → t_f=√{{2d}/g}$$

Invece i suono viaggia a velocità costante $v_s$ con $d=v_s t_s$ o anche $t_s=d/v_s$. Quindi il tempo complessivo sarebbe:

$$t=√{{2d}/g}+d/v_s → √{{2d}/g}=t-d/v_s$$

elevando al quadrato entrambi i membri

$$t{2d}/g=t^2-2(t/v_s)d+(1+v_s^2)d^2$$

ora moltiplichiamo per $gv_s^2$ rimaneggiando l'equazione.

$gd^2-2v_s (gt+v_s)d+gv_s^2 t^2$

Si tratta di risolvere un'equazione di secondo grado nell'incognita.

$$d={2v_s (gt+v_s)±√{4v_s^2(gt+v_s)^2-4g^2 v_s^2 t^2}/{2g}}$$

trovando in questo modo il valore d=40,7 m.