Onde sonore

      

Un'onda sonora è una forma di energia che si propaga attraverso un mezzo elastico, come ad esempio l'aria, e che produce vibrazioni che possono essere percepite dall'orecchio umano come suoni e rumori.

Le onde sonore sono generate da vibrazioni di oggetti che producono onde di pressione.

Per affrontare questo argomento è consigliabile rileggere la pagina sulle onde progressive,infatti, molte delle caratteristiche delle onde acustiche sono riferibili al fenomeno fisico più generale delle oscillazioni che si propagano nello spazio. Le onde sonore sono caratterizzate da precise peculiarità qui di seguito elencate:

• Velocità del suono.
• Caratteristiche del suono.
• Propagazione delle onde sonore.
• Interferenza di onde sonore.
• Ultrasuoni ed infrasuoni.
• Eco.
• Intensità e livello sonoro.
• Decibel.
• Battimenti.
• Effetto Doppler.

Se colpiamo una campana con un batacchio, udiamo un suono e, nello stesso tempo, percepiamo che la campana vibra. Quando tocchiamo la campana con le mani,impediamo alla campana di vibrare e il suono cessa.

La sorgente del suono è dunque un corpo che vibra.

Gli altoparlanti sono degli attuatori che convertono impulsi elettrici in onde sonore facendo vibrare una membrana. Nel disegno seguente si nota come questa membrana, oscillando avanti e indietro in modo periodico genera un suono.

Si creano cosi nell'aria zone di compressione e di rarefazione che si allontanano dalla membrana.

Un'onda sonora è quindi costituita da un'alternanza di compressioni e rarefazioni, ovvero regioni di alta e bassa pressione, che si muovono ad una certa velocità. In altre parole, consiste in una variazione periodica (cioè oscillante o vibrante) della pressione che si verifica attorno alla pressione di equilibrio prevalente in un particolare momento e luogo. La pressione di equilibrio e le variazioni sinusoidali causate dal passaggio di un'onda sonora pura è rappresentata nello schema seguente.

Dal disegno si deduce che il suono è un'onda longitudinale, generata da successive compressioni e rarefazioni del mezzo in cui il suono si propaga. Inoltre, dalle precedenti considerazioni si evince che il suono si può propagare in un mezzo materiale, ma non si propaga nel vuoto.

Velocità del suono

      

Come tutte le onde anche il suono ha una sua velocità di propagazione, che dipende dal materiale in cui si propaga e da altre sue caratteristiche (come la temperatura e la pressione). La velocità v di un'onda sonora in un mezzo che ha un modulo di compressibilità B e una massa volumica ρ è

$$v=√{B/ρ}$$

dove B è il modulo di compressibilità del mezzo definito come

$$B=-{Δp}/{({ΔV}/V)}$$

con Δp variazione di pressione e ΔV variazione di volume.

Dunque ${ΔV}/V$ è la variazione relativa di volume causata da una variazione di pressione Δp.
Dimensionalmente ${ΔV}/V$ è un numero puro, quindi, B mantiene la stessa unità di misura di p cioè pascal (Pa).
I segni di Δp e ΔV sono sempre opposti: quando aumentiamo la pressione su un elemento fluido (Δp positivo) il suo volume diminuisce (ΔV negativo). Perciò includiamo un segno meno nell'equazione precedente in modo da rendere B una quantità sempre positiva.

Gli esperimenti mostrano che il suono si propaga in aria secca (alla pressione atmosferica normale di $1,01× 10^5 Pa$ (1 bar) e alla temperatura di 0 °C) con la velocità $v=332 m/s$ cioè circa $1200 km/h$.
Nell'aria alla temperatura di 20 °C, la velocità del suono è di $343 m/s$. Di seguito riportiamo un elenco di valori della velocità del suono in alcuni materiali.

Gas	v (m/s)
Aria (0°C)	331
Aria (20 °C)	343
Elio	965
Idrogeno	1284
Liquidi
Acqua (0 °C)	1402
Acqua (20 °C)	1482
Acqua marina	1522
Solidi
Alluminio	6420
Acciaio	5941
Granito	6000

Caratteristiche del suono

      

Il suono è un'onda sonora periodica, a differenza dei rumori che sono onde sonore che non hanno forma periodica.
Le caratteristiche del suono sono:

1 l'altezza;
2 l'intensità;
3 il timbro.

L'altezza del suono è associato alla frequenza dell'onda. La frequenza dell'onda sonora distingue un suono alto da un suono basso. Un suono è tanto più alto quanto maggiore è la frequenza dell'onda sonora che lo produce. Una frequenza molto minore, produce un suono più grave.

L'intensità del suono è correlato all'ampiezza dell'onda. Un'ampiezza più grande corrisponde ad una intensità maggiore e quindi ad un volume più alto. Per contro un'ampiezza più bassa determina un suono meno intenso, a basso volume.

Il timbro è caratterizzato dalla forma dell'onda periodica con cui oscilla l'onda sonora. Ci permette di capire se stiamo ascoltando musica generata da un diapason da un vibrafono o da un organo.

Propagazione delle onde sonore

      

Il disegno seguente mostra come si propaga un'onda sonora.

Un'onda acustica emessa da una sorgente puntiforme S si propaga in tre dimensioni. I fronti d'onda formano sfere concentriche con centro in S e i raggi si dipartono radialmente da S.

Le due freccette contrapposte indicano che gli elementi del mezzo di propagazione oscillano parallelamente ai raggi. Tramite le seguenti osservazioni possiamo formalizzare il moto di un'onda sonora.

Nello schema a del disegno seguente si ha un'onda sonora, che si muove attraverso un lungo tubo riempito di aria alla velocità v. Il fenomeno consiste di una serie di espansioni e compressioni dell'aria in moto periodico.

Nello schema b osserviamo un particolare di un breve tratto di tubo ingrandito orizzontalmente. Quando passa l'onda, un elemento di fluido di spessore Δx oscilla a destra e a sinistra di moto armonico semplice attorno alla sua posizione di equilibrio. All'istante mostrato in b, l'elemento si trova casualmente spostato a una distanza s alla destra della sua posizione di equilibrio. Il suo spostamento massimo, sia a destra sia a sinistra, è $s_m$.

Mano a mano che le onde passano, questo elemento (evidenziato) di aria oscilla a sinistra e a destra in un moto armonico semplice intorno al suo punto di equilibrio. Perciò le oscillazioni di questo elemento di aria dovute a un'onda sonora sono identiche a quelle di un elemento di corda dovute all'onda trasversale su una corda, se si eccettua il fatto che l'elemento di aria oscilla longitudinalmente (parallelo alla direzione del moto dell'onda) mentre l'elemento di corda oscilla trasversalmente (perpendicolare alla direzione del moto dell'onda).

Lo spostamento longitudinale s di un elemento di massa in un mezzo, dovuto a un'onda sonora, è:

$s=s_m cos(kx-ωt)$

dove $s_m$ è lampiezza di spostamento (spostamento massimo) dall'equilibrio, $k = {2π}/λ$ ed $ω=2πf$; dove λ ed f sono rispettivamente la lunghezza d'onda e la frequenza dell'onda acustica.

E' possibile dimostrare che al muoversi dell'onda, la pressione dell'aria in qualsiasi posizione x nello schema a aumenta e diminuisce sinusoidalmente.
Lo scarto di pressione Δp del mezzo dalla pressione di equilibrio, dovuto all'onda sonora, è :

$Δp=Δp _m sin(kx-ωt)$

dove l'ampiezza di pressione è

$Δp_m=(vρω)s_m$

Interferenza

      

Il fenomeno dell'interferenza tra onde sonore è in completa analogia con quanto descritto sulle onde progressive in generale. Ipotizziamo due onde acustiche di ugual ampiezza e lunghezza d'onda mentre si propagano lungo l'asse x con differenza di fase ϕ. Possiamo descrivere le onde con le seguenti espressioni :

$s_1(x,t)=s_m cos(kx-ωt)$
e
$s_2(x,t)=s_m cos(kx-ωt+ϕ)$

Queste onde si sovrappongono e interferiscono. La risultante, in base all'equazione già vista per le onde progressive , vale:

$$s'_m=[2s_m cos(ϕ/2)]cos(kx-ωt+ϕ/2)$$

Come nel caso delle onde trasversali, l'onda risultante è di per sé un'onda in moto. La sua ampiezza è in modulo vale :

$$s'_m={|2s_m cos(ϕ/2)|}$$

Come per le onde trasversali, il valore di ϕ determina il tipo di interferenza che le onde subiscono.
Un modo per regolare ϕ consiste nell'inviare le onde su due cammini separati.

Nella seguente ne mostriamo una schematizzazione. Due sorgenti puntiformi $S_1$ e $S_2$ emettono onde acustiche in fase di uguale lunghezza d'onda λ. Si suol dire che le sorgenti stesse sono in fase: significa che le onde che ne emergono hanno spostamenti identici nello stesso istante.

Fissiamo l'attenzione sulle onde che raggiungono il punto P. Assumiamo che la distanza di P dalle sorgenti sia molto più grande della separazione tra le due sorgenti, al punto che le due onde in prossimita di P si possano considerare parallele.

Se le onde avessero percorso uguali distanze per raggiungere P, sarebbero in fase. Come nel caso delle onde trasversali, esse subirebbero in tal caso un'interferenza completamente costruttiva. Nel disegno precedente vediamo però che il cammino $L_1$ percorso dall'onda proveniente da $S_1$ è più lungo del cammino $L_2$ percorso dall'onda emessa da $S_2$. Questa differenza di cammino significa che le onde nel punto P potrebbero essere fuori fase. La differenza di fase ϕ che intercorre tra di esse dipende cioè dalla differenza di cammino $ΔL = |L_1 - L_2|$.

Se tale differenza è uguale, diciamo, a 2λ, le onde giungono perfettamente in fase. Cosi apparirebbero delle onde trasversali.

Se la differenza è uguale a 2,5λ, le onde giungono in esatta opposizione di fase. Così apparirebbero delle onde trasversali

Per trovare la relazione tra quest'ultima (ΔL) e la differenza di fase ϕ ricordiamoci che una differenza di fase di 2π corrisponde a una lunghezza d'onda. Possiamo pertanto scrivere la proporzione :

$$ϕ/{2π}={ΔL}/λ$$

cioè

$$ϕ={ΔL}/λ 2π$$

Le onde subiscono un'interferenza totalmente costruttiva quando ϕ è zero o un multiplo intero di 2m, cioè quando

$ϕ=m(2π)\;con\; m=0,1,2,…$

questa condizione corrisponde a

$${ΔL}/λ=0,1,2…$$

La condizione per una interferenza totalmente distruttiva delle onde è data dalla

$$ϕ=(m+1/2)2π\;con\; m=0,1,2,…$$

In questo caso abbiamo un'interferenza totalmente distruttiva. ovvero quando

$${ΔL}/λ=0,5; 1,5; 2,5…$$

Ultrasuoni ed infrasuoni

      

Non tutte le onde sonore sono percepite come suono dall'udito umano.

Per essere udibile, un'onda sonora deve avere una frequenza compresa tra 20 Hz e 20.000 Hz.

Le frequenze inferiori sono chiamate infrasuoni e quelle superiori ultrasuoni,

L'essere umano non può percepire suoni al di fuori di questo intervallo anche se alcuni animali possono percepirli. I cani arrivano a percepire ultrasuoni fino a 50.000 Hz e i pipistrelli raggiungono i 120.000 Hz.

Nella nello schema sotto sono indicati in rosso gli intervalli di frequenze che corrispondono ai suoni emessi dall'uomo e da alcuni animali. Gli intervalli in verde corrispondono ai suoni uditi. Come si vede, cani e pipistrelli riescono a percepire come suoni delle onde che il nostro orecchio non riesce registrare.

Gli ultrasuoni hanno lo stesso comportamento delle onde sonore ma hanno lunghezze d'onda più piccole.

Eco

      

Il fenomeno fisico dell'eco è dovuto alla riflessione delle onde sonore, cioè al fatto che il suono rimbalza contro eventuali ostacoli che incontra lungo il suo cammino.

Il nostro orecchio riesce a percepirei in modo distinto due suoni solo se essi sono distanziati nel tempo di almeno un decimo (1/10=0,1 s) di secondo.
Esiste dunque una distanza minima per percepire un eco.

Nel disegno si vede un'onda sonora emessa dalla sorgente S che rimbalza contro un muro. Bisogna specificare che l'onda riflessa si muove alla stessa velocità dell'onda incidente cioè v=343m/s. Il tempo impiegato per percepire il suono di rimbalzo emesso dalla sorgente e di ritorno dall'ostacolo vale :

$$t={2d}/v$$

se per avere un fenomeno di eco t deve essere uguale almeno a 0,1s . La distanza minima a cui si deve trovare la sorgente per percepire un fenomeno di eco vale :

$$d={vt}/2={343·0,1}/2=17,15\,m$$

se l'ostacolo su cui rimbalza il suono si trova a meno di questa distanza di 17,15 m si percepisce solo una vaga sensazione di rimbombo.

Le principali applicazioni tecnologiche che sfruttano il fenomeno dell'eco sono: l'ecografia che è una tecnica diagnostica usata in medicina. Essa utilizza gli ultrasuoni per indagare sulla situazione degli organi che si trovano sotto la cute del corpo umano. Il sonar è un'altra tecnologia presente a bordo di sommergibili e imbarcazioni che consente di percepire la dimensione e la distanza di eventuali oggetti che si cercano sotto la superficie dell'acqua; anche essa funziona utilizzando gli ultrasuoni.

Intensità del suono

      

L'intensita I di un’onda sonora è la potenza media che investe un’unita di superficie:

$$I=P/A$$

dove P è la potenza dell’onda acustica e A è l’area interessata. L'intensita I è legata all’ampiezza di spostamento $sm$ dell’onda da

$$I=1/2ρω^2 s_m^2$$

Se una sorgente puntiforme S emette onde sonore uniformemente in tutte le direzioni. Le onde attraversano una sfera immaginaria di raggio r con centro in S sapendo che la superficie di una sfera di raggio r vale $S=4πr^2$; l’intensità a una distanza r da una sorgente puntiforme che emette onde acustiche di potenza $P_s$ è

$$I=P_s/{4πr^2}$$

Decibel

      

L'ampiezza dello spostamento s percepibile ,dall'orecchio umano va da circa $10^{-5}\;m$ per il suono più intenso tollerabile a circa $10^{-11}\,m$ per il suono più debole rilevabile, un rapporto di $10^6$.
Dalle equazioni elaborate in precedenza vediamo che l'intensità di un suono varia con il quadrato della sua ampiezza, per cui il rapporto di intensità a questi due limiti del sistema uditivo umano è $10^12$. Gli esseri umani possono adattare l'orecchio a una gamma enorme di intensità. Per trattare una gamma così vasta di valori ricorriamo ai logaritmi. Considerando la relazione

$$y = lg_10 x$$

nella quale x e y sono variabili. È una proprietà di questa relazione il fatto che, se moltiplichiamo x per un fattore 10, y aumenta di 1 . Infatti

$y'= lg(10x) = lg 10 + lg x = 1 + y$

Analogamente, se moltiplichiamo x per $10^12$, y aumenta soltanto di 12. Per cui, invece di parlare dell'intensità I di un'onda sonora, è molto più comodo parlare di livello sonoro β, definito come segue:

$$β=lg(I/I_o)$$

L'unità di misura di β è il bel (simbolo B), unità di livello sonoro; però è molto più usato il suo sottomultiplo decibel (dB). Il nome è stato scelto in riconoscimento dell'opera di Alexander Graham Bell. $I_o$ nell'equazione precedente è un'intensità standard di riferimento $(= 10^{-12} W/m^2)$, scelta perché corrisponde circa al limite inferiore della gamma dei suoni udibili per l'uomo. Per $I=I_o$, l'equazione precedente fornisce
$β = lg 1 = 0$
per cui il nostro livello standard di riferimento corrisponde a O B = O dB. Poi β cresce di 1 bel (10 decibel) ogni volta che l'intensità del suono cresce di l ordine di grandezza (un fattore 10). Ad esempio $β= 4 B = 40 dB$ corrisponde a un'intensità $10^4$ volte superiore al livello di riferimento. La tabella seguente mostra alcuni valori di β.

Battimenti

      

I battimenti sono un fenomeno fisico che si ha quando si rilevano simultaneamente due onde di frequenze $f_1$ ed $f_2$ poco differenti tra loro che entrano in interferenza. La frequenza di battimento è

$f_b=f_1-f_2$

Se ascoltiamo,a distanza di pochi minuti, due suoni le cui frequenze sono 600 e 612 Hz, la maggior parte di noi non è in grado di distinguerli l’uno dall’altro perché le loro frequenze sono molto vicine e si somigliano. Tuttavia, se i suoni giungono alle nostre orecchie simultaneamente, quello che noi ascoltiamo è un suono di frequenza 606 Hz, la media delle due frequenze che si combinano.
Il suono è accompagnato da una forte variazione nell’intensita: cresce e decresce periodicamente in un battimento che lentamente oscilla, con frequenza di 12 Hz, pari alla differenza tra le due frequenze che si combinano. Il seguente disegno illustra questo fenomeno.

Supponiamo che le variazioni temporali degli spostamenti dovuti alle due onde sonore di ugual ampiezza $s_m$, siano:

$\{\table \s_1=s_mcos(ω_1t); \s_2=s_mcos(ω_2t)$

Supponiamo $ω_1>ω_2$.

Secondo il principio di sovrapposizione, lo spostamento risultante è la somma dei due spostamenti:

$s=s_1+s_2=s_m[cos(ω_1t)+cos(ω_2t)]$

Dalla trigonometria sappiamo che

$$cosa+cosb=2cos({a-b}/2)cos({a+b}/2)$$

otteniamo allora lo spostamento risultante

$$s=2s_mcos({ω_1-ω_2}/2t)cos({ω_1+ω_2}/2t)$$

ora poniamo

$\{\table \ω'={ω_1-ω_2}/2; \ω={ω_1+ω_2}/2$    X

allora possiamo riscrivere l'equazione dello spostamento come

$s(t)=[2s_mcos(ω't)]cos(ωt)$     Y

Supponiamo ora che le pulsazioni $ω_1$, e $ω_2$, delle onde che si combinano siano quasi uguali, il che significa che $ω≫ω'$ nell’equazione X. Esplicitando i termini in questo modo, possiamo considerare l’equazione Y come una funzione coseno la cui pulsazione è ω e la cui ampiezza (che non è costante ma varia con frequenza molto minore ω') è la quantità tra parentesi quadre.

Un massimo per l’ampiezza si verificherà ogni volta che $cos(ω't)$ nell’equazione Y assume i valori +1 o —1, il che avviene due volte in ogni ripetizione della funzione coseno. Poiché $cos(ω't)$ ha pulsazione ω', la pulsazione $ω_b$ alla quale avvengono i battimenti è $ω_b= 2ω'$. In base alle equazioni Y possiamo quindi scrivere la pulsazione del battimento come:

$$ω_b= 2ω'=2·{ω_1-ω_2}/2=ω_1-ω_2$$

Dato che è $ω=2πf$ avremo

$f_b=f_1-f_2$ (frequenza di battimento)

Effetto Doppler

      

Quando una sorgente sonora ed un osservatore si muovono l'uno rispetto all'altro, la frequenza che l'osservatore percepisce è diversa da quella emessa dalla sorgente. In fisica questo fenomeno è chiamato effetto Doppler.

L'effetto Doppler consiste nella variazione di frequenza rivelata di un'onda quando la sorgente o il rivelatore si muovono rispetto al mezzo trasmissivo, che nel caso delle onde sonore è l'aria.

Nelle considerazioni successive chiamiamo:

$v$ = velocità del suono
$v_s$ = velocità della sorgente
$v_o$ = velocità dell'osservatore
$f$ = frequenza della sorgente
$f'$ = frequenza percepita dall'osservatore

Si possono individuare due casi principali:

1 Osservatore fermo e sorgente in movimento.
(a) Se la sorgente si avvicina, la lunghezza d'onda che arriva all'osservatore è minore e la frequenza è maggiore.
In questo caso vale la formula :

$$f'=f(v/{v-v_s})$$

(b) Se la sorgente si allontana la lunghezza d'onda che arriva all'osservatore è maggiore e la frequenza è minore.
In tal caso vale la formula

$$f'=f(v/{v+v_s})$$

2 Osservatore in movimento e sorgente ferma.
(a) Se l'osservatore si avvicina la frequenza è maggiore.
Vale la formula:

$$f'=f({v+v_o}/v)$$

(b) Se l'osservatore si allontana la frequenza è minore.

$$f'=f({v-v_o}/v)$$

La formula generale della frequenza $f'$ rivelata in funzione della frequenza $f$ emessa è

$$f'=f{v±v_o}/{v±v_s}$$

Ad esempio, un camion dei pompieri, fermo su una strada, fa suonare la sua sirena di frequenza 1000 Hz. Se anche noi siamo fermi nei paraggi, udiremo quella stessa frequenza. Ma se è in atto un movimento relativo tra noi e il camion dei pompieri, sia che ci avviciniamo sia che ci allontaniamo, noteremo allora una diversa frequenza.

Se ad esempio, ci stiamo muovendo in direzione dei pompieri alla velocità di 120 km/h, udiremo una frequenza più elevata (1096 Hz con un aumento di 96 Hz). Se invece ci allontaniamo dal camion dei pompieri a quella stessa velocità, udiremo una frequenza inferiore (904 Hz, con una diminuzione di 96 Hz).

Queste variazioni di frequenza legate al moto sono esempi dell'effetto Doppler. Questo effetto fu studiato (anche se soltanto in fase preliminare) nel 1842 dal fisico austriaco Johann Christian Doppler.

In sintesi, quando la sorgente si avvicina all' osservatore, il segno della sua velocità è tale da far aumentare la frequenza rilevata. Quando la sorgente si allontana dall' osservatore , il segno della sua velocità è tale da far diminuire la frequenza rilevata. In altri temini, avvicinarsi alla sorgente significa aumentare, mentre allontanarsi significa diminuire.