Esercizio 20

Due corde identiche di un pianoforte hanno una frequenza fondamentale di 600 Hz quando sono tese allo stesso modo. Quale aumento frazionario nella tensione di una corda darà luogo a 6 battimenti/s quando entrambe le corde oscillano simultaneamente?

Soluzione

Ogni filo vibra nella sua modalità fondamentale, quindi la lunghezza d'onda è il doppio della lunghezza del filo (λ = 2L) e la frequenza è

$$f=v/λ=1/{2L}√{τ/μ}$$

dove $v=√{τ/μ}$ è la velocità dell'onda del filo, τ è la tensione nel filo e μ è la densità di massa lineare del filo. Supponiamo che la tensione in un filo sia τ e la frequenza di oscillazione sia $f_1$.

La tensione nell'altro filo è $τ+Δτ$ mentre la sua frequenza è $f_2$.
Se vogliamo calcolare ${Δτ}/τ$ per $f_1=600Hz$ ed $f_2=606Hz$ avremo.

$$f_1=1/{2L}√{τ/μ}$$

e

$$f_1=1/{2L}√{{τ+Δτ}/μ}$$

dunque:

$$f_1/f_2=√{{τ+Δτ}/τ}=√{1+{Δτ}/τ}$$

da cui possiamo ottenere

$${Δτ}/τ=(f_2/f_1)^2-1=(606/600)^2-1=0,02$$