Composizione di movimenti

     

Il moto rettilineo è un moto che si svolge in un'unica direzione e quindi in un'unica dimensione ma il moto di un corpo può essere assoggettato in due o tre dimensioni. Nel caso, ad esempio di un aereo in fase di decollo, osserviamo che il suo moto è la risultante di due spinte: quello dei motori in senso orizzontale e quello della spinta dell'aria sulle ali in senso verticale.

Un altro esempio è il moto di un proiettile sparato da un cannone con inclinazione data. In tal caso, il corpo mobile, sarà soggetto ad una spinta sia orizzontale che verticale, con l'ulteriore condizione che tale corpo, in senso verticale, è soggetto anche ad un moto uniformemente accelerato dato dalla forza di gravità con accelerazione $g↖{→}$.
Si tratta, infatti, dello stesso fenomeno a cui può essere soggetto un pallone di calcio o di basket durante il suo utilizzo convenzionale.

Posizione e spostamento

     

Il modo più semplice per individuare la posizione di un punto materiale in uno spazio tridimensionale
è quella di usare il vettore posizione $r↖{→}$:

Quando una particella si muove, in modo che il suo vettore posizione $r↖{→}$ si estenda sempre dalla particella al punto di riferimento (l'origine). Se la posizione della particella cambia durante un certo intervallo di tempo Δt, il vettore posizione cambia, diciamo , da $r↖{→}_1$ a $r↖{→}_2$ quindi chiamiamo $Δr↖{→}$ lo spostamento delle particelle durante tale intervallo di tempo è

      

usando la notazione vettoriale avremo

che si può scrivere nella forma

dove le coordinate (x₁, y₁, z₁) corrispondono al vettore di posizione $r↖{→}_1$ e alle coordinate (x₂, y₂, z₂) corrispondono al vettore di posizione $r↖{→}_2$ . Possiamo anche riscrivere lo spostamento sostituendo Δx per (x₂ x₁), Δy per (y₂ y₁) e Δz per (z₂ z₁):

Velocità

               

Se una particella si sposta da un punto a un altro, potremmo aver bisogno di sapere quanto velocemente essa si sposta. Come nel caso del moto rettilineo possiamo definire le due quantità : velocità media e velocità istantanea. Tuttavia, qui dobbiamo considerare queste quantità come vettori e usare una notazione vettoriale.
Se una particella si muove attraverso uno spostamento $Δr↖{→}$ in un intervallo di tempo Δt, allora la sua la velocità media $v↖{→}_m$ è definita come

        che può essere riscritta come

ad esempio se una particella effettua uno spostamento $15i↖{→}+6k↖{→}$ [m] in un intervallo Δt=3 s

Quando parliamo della velocità di una particella, di solito intendiamo la velocità istantanea.
Questo è il valore a cui si avvicina $v↖{→}_m$ mentre riduciamo l'intervallo di tempo Δt a 0.
Usando l'analisi matematica di calcolo, possiamo scrivere come derivata

     

Nel disegno si vede il percorso di una particella limitata al piano xy. Durante l'intervallo di tempo Δt, il vettore di posizione cambia da $r↖{→}_1$ a $r↖{→}_2$ e il lo spostamento delle particelle è $Δr↖{→}$.
Per trovare la velocità istantanea della particella, diciamo, istante t₁ (quando il la particella è nella posizione 1), riduciamo l'intervallo Δt a 0.
Mentre lo facciamo, il vettore $r↖{→}_2$ si sposta verso $r↖{→}_1$ e $Δr↖{→}$ si restringe.
La direzione di $${Δr↖{→}}/{Δt}=v↖{→}_m$$ è data dalla direzione di $Δr↖{→}$ .
Possiamo quindi dire che la direzione della velocità media $v↖{→}_m$ si avvicina a direzione della linea tangente al percorso della particella in posizione 1. Assieme alla direzione, anche l'intensità della velocità media $v↖{→}_m$ si avvicina all'intensità della velocità istantanea: $v↖{→}$ al tempo t₁.

Al limite, con $Δt→0$ abbiamo $v↖{→}_m→v↖{→}$ e, soprattutto, qui, $v↖{→}_m$ assume la direzione della retta tangente alla traiettoria nel punto 1, quindi: $v↖{→}$ ha anch'essa quella direzione:

La direzione della velocità istantanea di una particella è sempre tangente alla percorso della particella nella posizione della particella.

Si può scrivere l'eq. precedente in forma vettoriale      scrivendo così

   con i componenti scalari  

Cioè, dx/dt è il componente scalare di $v↖{→}$ lungo l'asse x, quindi possiamo trovare le componenti scalari di $v↖{→}$ differenziando le componenti scalari di $r↖{→}$.

Accelerazione

     

Quando la velocità di una particella cambia da $v↖{→}_1$ a $v↖{→}_2$ in un intervallo di tempo Δt, è la sua accelerazione media $a↖{→}_m$ durante Δt viene definita come

   ; facendo tendere Δt → 0 otteniamo la velocità istantanea

se la velocità cambia intensità oppure direzione (o entrambi) la particella deve avere una accelerazione.
Rispetto alle componenti scalari avremo
       che può essere riscritta come

  con

L'accelerazione è un vettore che ha la stessa direzione della variazione istantanea della velocità. Poiché la velocità cambia nella direzione in cui la traiettoria si incurva, l'accelerazione è sempre diretta verso la concavità della curva ed in generale non è ne tangente ne perpendicolare alla traiettoria. come si vede nel disegno riportato sopra.

Moto di proiettili

     

Come si è detto moto di un proiettile sparato da un cannone con inclinazione data è un tipico esempio di moto curvilineo bidimensionale. In tal caso, il corpo mobile, sarà soggetto ad una spinta sia orizzontale che verticale, con l'ulteriore condizione che tale corpo, in senso verticale, è soggetto anche ad un moto uniformemente accelerato dato dalla forza di gravità con accelerazione g.

Supponendo di conoscere la velocità iniziale v_o e l'angolo di inclinazione θ:

    con  

In questo tipo di moto la componente della velocità in orizzontale è un moto uniforme, mentre la componente verticale è un moto uniformemente accelerato influenzato dalla gravità g. Per tale componente useremo l'equazione che regola la velocità per il moto uniformemente accelerato:

   ovviamente poniamo t_o=0, mentre l'accelerazione a= - g.

Quando il proiettile arriva in A : v_oy=0 dato che v_oy=gt sarà passato un tempo t dato da $$t=v_{oy}/g={v_osinθ}/g$$

Il tempo necessario affinché il proiettile arrivi in B si ottiene ponendo y=0 nella

La gittata OB si ottiene inserendo tale tempo nella

La gittata massima si ottiene per θ=45° derivando ed uguagliando a 0 l'equazione precedente. L'equazione della traiettoria si ottiene eliminando t dal sistema precedente: