Funzione esponenziale
La nozione di potenza ad esponente intero e ad esponente razionale di
un numero reale positivo è già stata introdotta,
definendo le seguenti regole: ammettendo i numeri:
a ∈ R+ (appartenente all’insieme dei numeri reali positivi)
m ∈ N (appartenente all’insieme dei numeri naturali)
n ∈ N0 (appartenente all’insieme dei numeri naturali con 0
incluso)
E', dunque, possibile attribuire un significato a tutte le potenze che hanno per base un numero reale positivo e per esponente un numero razionale qualsiasi.
Questo insieme di regole può essere ampliato anche se si volesse considerare come esponente, un numero reale qualsiasi come $√2$.
Se a, è un numero reale positivo diverso da 1 (a≠1) ed x un numero reale (x∈R) si definisce la potenza di base a ed esponente x ponendo
la condizione a≠1 è giustificata dal fatto che 1x=1 per ogni valore di x (∀x). Non si definiscono, invece, le potenze ad esponente reale di numeri negativi (deve essere sempre a>0 oltre che a≠1) come del resto non si definiscono neppure le potenze ad esponente razionale dei numeri negativi.
E' possibile dimostrare che le proprietà delle potenze ad esponente razionale continuano a valere anche se si considerano potenze ad esponente reale, avendo perciò
questo per a,b ∈R+ ; x∈R ; y∈R.
In base a quanto visto, prefissato un numero reale a>0 è possibile associare,
ad un qualsiasi numero reale x, il numero reale ax.
x → ax (a
, x ∈R , a>0)
Viene in questo modo definita una funzione di variabile reale di equazione
quest'ultima è chiamata funzione esponenziale
di base a , che ha per dominio di esistenza tutto l'insieme dei numeri
reali R.
Nel caso banale in cui a=1 per ogni valore di x appartenete ad R (∀x∈R)
la funzione esponenziale non è altro che la funzione costante di equazione
y=1.
Per la funzione esponenziale, la discriminante a=1 ha delle implicazioni molto importanti. La funzione esponenziale di base a con a>0 ∧ a≠1 è una funzione crescente se a>1 mentre è decrescente se 0 < a < 1.
Come si vede dai grafici, il codominio della funzione esponenziale ( il
campo di variabilità della y) è sempre l'insieme R+ dei numeri
reali positivi; cioè ∀x∈R risulta ax > 0. Per
entrambe le funzioni si scrive
dominio D = (+∞ ; –∞)= R
codominio C = (0 ; +∞)= R+
La funzione esponenziale è sempre monotona
crescente o decrescente.
Equazioni esponenziali
Sono chiamate equazioni esponenziali le equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di qualche potenza. La forma canonica di un'equazione esponenziale è
con
a>0 e a≠1
infatti un'equazione, i cui due membri sono potenze della stessa base ,
equivale ad un'equazione i cui due membri sono gli esponenti di tali potenze.
Non tutte le equazioni esponenziali sono riducibili alla forma canonica.
la soluzione di 3x=-2 va esclusa perché questa equazione è impossibile dato che ∀x 3x>0 (il codominio di una funzione esponenziale è sempre positivo).
Disequazioni esponenziali
Si chiamano disequazioni esponenziali tutte le disequazioni in cui l'incognita
appare all'esponente di qualche potenza.
La forma canonica di un'equazione esponenziale è
con
a>0 e a≠1
Per risolvere questo tipo di equazione, bisogna ricordarsi che
Una disequazione esponenziale, i cui due membri sono potenze di una stessa base maggiore di 1, equivale ad una disequazione dello stesso verso tra gli esponenti di tali potenze.
Una disequazione esponenziale, i cui due membri sono potenze di una stessa base positiva minore di 1, equivale ad una disequazione di verso opposto tra gli esponenti di tali potenze.
ma si poteva anche risolvere come
questa disequazione, ad esempio, non è in forma canonica, ma la si può sempre ricondurre a tale forma:
il primo operando è maggiore di 0 quando t>8
il secondo operando è maggiore di 0 quando t>2
facendo il grafico e confrontando i segni la disequazione risulta soddisfatta
per 2<2x<8
dunque la soluzione è