Disequazioni con valore assoluto

      

Dalla definizione di valore assoluto di un numero reale x può essere dedotta l'importante proprietà:

$|x| > 0$ per $x ≠ 0$   così che   $|x| ≥ 0 ∀x ∈ R$

questa regola viene applicata anche nel caso in cui all'interno della segnatura di modulo appaia una generica espressione algebrica :

$|f(x)| >0$ per $f(x) ≠ 0$   in modo tale che   $|f(x)| ≥ 0 ∀x ∈ R$

questi criteri risultano importanti nel caso in cui si debbano risolvere disequazioni contenenti espressioni in modulo. Ad esempio

$|x-3| < 0$ risulta essere una disequazione impossibile con un insieme delle soluzioni vuoto $S ≡ ∅$ ;
mentre la disequazione $|x-3| ≤ 0$ ha come unica soluzione $x=3$.

$|x-2| ≥ 0$ è invece sempre verificata mentre la disequazione $|x-2| > 0$ viene soddisfatta per $x ≠ 2$, infatti se $x=2$ la disequazione diventa $0 > 0$ che è falsa.

Sempre in base alla definizione di valore assoluto, è evidente che disequazioni del tipo:

$|x-3| > -2$ oppure $|x^2+7x-8| > -3$    sono sempre verificate, mentre le disequazioni

$|2x-3| < -2$   ed   $|x^5-x^2| < -5$    sono impossibili, cioè non ammettono soluzioni (l'insieme delle loro soluzioni è vuoto S ≡ ∅ ).

Questi sono casi in cui al secondo membro vi è un valore ( che d'ora in poi chiameremo k) che è negativo o nullo; tuttavia può capitare di dover risolvere disequazioni del tipo:

$|f(x)| < k$ con $k > 0$
$|f(x)| > k$ sempre con $k> 0$

|f(x)|<k con k>0

      

Ammettendo, dunque, $k∈R^{+}$ (con $k$ appartenente all'insieme dei numeri reali positivi) dalla definizione di valore assoluto avremo

quindi la disequazione $|f(x)| < k$ equivale ai due sistemi

La disequazione, sarà risolta per $0≤f(x)≤k\;∨\;-k<f(x)<0$    in pratica avremo:   $-k<f(x)<k$,   riassumendo:

Attenzione; in questo caso la soluzione è l'intersezione delle soluzioni delle due disequazioni: 

|f(x)|>k con k>0

      

Se consideriamo la disequazione $|f(x)| > k$ con $k∈R^{+}$ avremo i due sistemi

      

oppure

Quindi la disequazione $|f(x)| > k$ è verificata per $f(x) > k \;\;∨\;\; f(x) < -k$. In sintesi

In questo caso la soluzione è l'unione delle soluzioni delle due disequazioni:

Se immaginiamo che f(x) sia una funzione rappresenta sul piano cartesiano xy, le zone non colorate sono quelle dove la $f(x)$ è ammissibile.

Ad esempio:   $|x^2-4x|<3$  equivale a dire   $-3<x^2-4x<3$   mettendo a sistema:

se ne ricava:       $2-√7<x<1\;\;∨\;\; 3<x<2+√7$.

Altro esempio:$|1+2x|>5$  equivale a dire $1+2x>5\;\;∨\;\;1+2x<-5$ mettendo a sistema:

     la soluzione è   $x<-3\;\;∨\;\;x>2$