Integrali Curvilinei

Integrale curvilineo del tipo

La funzione a due variabili

[I]

rappresenta geometricamente , una superficie S i cui punti hanno coordinate x,y,z che la soddisfano.

La funzione

y=φ(x) [II]

interpretata geometricamente, nel piano rappresenta una linea l, interpretata nello spazio, rappresenta una superficie cilindrica.

Dato che nella [II] si intende z qualunque, l'intersezione tra la superficie S [I] ed il cilindro [II] genera la linea spaziale γ.

Se x ed y non sono indipendenti ma sussiste la [II] allora si può dire che la funzione z=f(x,y) rappresenta in generale una linea sghemba γ.

La forma [I] grazie alla [II] diventa, allora, una funzione ad una sola variabile.

Nella y=φ(x); ammettiamo a≤x≤b.

Se F(x) è integrabile, esiste l'integrale definito

[III]

Questo integrale può anche essere scritto nella forma

[IV]

chiamato integrale curvilineo.

Bisogna sottolineare che nella forma [IV] x ed y non sono variabili indipendenti, ma legate dalla relazione y=φ(x) che è l'equazione della linea l che unisce i due punti A e B.
In base a queste osservazioni l'integrale curvilineo risulta una generalizzazione dell'integrale definito ordinario; esso va quindi calcolato ponendo:

[V]

Questa definizione vale anche in senso inverso, dunque per l'integrale definito

avendo posto y=1-x² che è l'equazione della parabola che interseca l'asse x in -1 ed 1.

Viceversa, l'integrale curvilineo

dove l è l'arco di circonferenza che unisce i punti A(1,0) e B(0,1) si può risolvere per la [V]

Esempio:

A(1,1) e B(4,2) sono due punti del piano xy che possono essere uniti da infinite linee. Fra le tante, scegliamo l'arco di parabola x=y² e calcoliamo l'integrale curvilineo:

per la [V] essendo x=y² → si ha:

Notiamo come allo stesso risultato ci si può arrivare esprimendo la funzione integrando in y invece che in x usando per il differenziale dx il seguente accorgimento:

quindi

altro esempio:

Calcolare l'integrale curvilineo con y=e^x inoltre con 0≤x≤1 per la [V] si ha

quindi

Dagli esempi si conclude che per la soluzione possono essere usate le due opzioni

[VI] oppure

[VII]

Integrale curvilineo del tipo

Anche l'espressione [VIII]
è una generalizzazione dell'integrale definito ordinario. Per risolverla, occorre l'equazione della linea l ed i limiti entro cui varia la variabile indipendente. Quindi:

a) se l'equazione di l è del tipo x=ψ(y) con c≤y≤d si ha

[IX]

b) se l'equazione della linea l è y=φ(x) con a≤x≤b si ha

[X]

Esempio:
Consideriamo i punti A(1,1) e B(4,2) uniti dall'arco di parabola di equazione x=y². Calcolare l'integrale curvilineo

Per la [IX] avremo

Integrale curvilineo del tipo

Sulla stessa linea l del piano xy di equazione
y=φ(x) con a≤x≤b
x=ψ(y) con c≤y≤d

definiamo due funzioni z=A(x,y) e z=B(x,y) entrambe continue. Per la prima funzione deve essere valida la [V] e per la seconda la [IX] cioè deve sussistere

sommando membro a membro

dato che la linea di integrazione è la stessa per entrambi gli integrali curvilinei

in modo analogo si può scrivere

Esiste l'eventualità che la linea l, o alcuni suoi tratti siano paralleli all'asse x o all'asse y. Ad es. in figura è rappresentata una linea parallela nel tratto AB all'asse y e nel tratto CD parallela all'asse x. Dato che gli integrali curvilinei hanno tutte le proprietà degli integrali definiti ordinari (si riducono ad essi) allora possiamo scrivere

ma nel tratto AB x=cost. → dx=0
e nel tratto CD y=cost. → dy=0; dunque

Circuitazione

Un integrale curvilineo, cambia segno ma non cambia valore assoluto, se la linea di integrazione viene percorsa nei due sensi opposti:questa è una proprietà degli integrali definiti ordinari ai quali si riducono gli integrali curvilinei.

questo perché per l'integrale definito

Un discorso a parte merita un cammino di integrazione costituito da una linea chiusa

Se si vuole indicare un senso di percorrenza si dovrebbe dire

se il senso di percorrenza è quello indicato dalla freccia

se il senso di percorrenza è quello opposto a quello della freccia

Di solito un integrale curvilineo esteso ad una linea chiusa viene indicato col simbolo e si legge "integrale esteso alla linea chiusa l" oppure "circuitazione" con questo simbolismo non si privilegia nessun senso di percorrenza della linea l.

Normalmente si assume come convenzionalmente positivo, quello giudicato antiorario da un osservatore al quale l'asse z entri dai piedi ed esca dalla testa quando esso e posto in piedi sul piano xy e si intende che gli assi xy siano orientati (come al solito) in modo tale che si assista ad una rotazione antioraria dell'asse x per farlo sovrapporre all'asse y.

Quando allora viene assegnato il calcolo di un integrale curvilineo esteso ad una linea chiusa bisogna operare in modo che la linea venga percorsa in senso positivo.

Ad es.:

Calcola lungo la circonferenza di equazione x²+y²=4.

Dall'equazione della linea y²=4-x² si ha:

eq. arco ADB

eq. arco ACB

Lungo l'arco ADB è

Lungo l'arco ACB è Partendo da A e percorrendo la circonferenza in senso positivo deve essere

procedendo per sostituzione x=2sin(t) → dx=2cos(t)dt

Se avessi percorso la circonferenza in questione in senso contrario avremmo , invece, trovato -4π.

Linea di integrazione in coordinate parametriche

Se la linea di integrazione viene assegnata in coordinate parametriche

x=x(t) ; y=y(t) con t₁≤t≤t₂ .

eliminando la t fra le relazioni soprascritte si ottiene l'equazione della linea. Inoltre sappiamo che ad ogni valore di t, compreso tra t₁ e t₂; in particolare se per t=t₁ e t=t₂ si ottengono rispettivamente i punti A e B e se in tutto l'intervallo (t₁,t₂) le equazioni precedenti sono derivabili, allora è:

Esempio: Calcola l'integrale

lungo la linea che unisce A(1,1) e B(4,2) di equazioni parametriche
x=2t²+t+1
y=t²+1
Determiniamo i valori di t che individuano A(1,1) e B(4,2). Nel caso di A(1,1) occorre individuare il valore di t per il quale è contemporaneamente
2t²+t+1=1 e t²+1=1 → la soluzione comune è t=0. Nel caso di B(4,2)
2t²+t+1=4 e t²+1=2 → t=1 è la soluzione che verifica entrambe le equazioni e pertanto individua il punto B.
Dalle equazioni parametriche si deduce: dx=(4t+1)dt e dy=2tdt

Interpretazione fisica dell'integrale curvilineo

Sul piano xy ipotizziamo una linea l di equazioni parametriche

x=x(t) ; y=y(t) con t1≤t≤t2

Preso un punto P su l, si può definire il vettore di posizione che ha punto di applicazione in O ed estremo in P quindi

dove è il versore (vettore unitario) indicativo l'asse x e il versore per l'asse y;incrementando t di Δt si ha

Il vettore :

la direzione di è secante alla linea l. Al tendere di Δt a zero il punto Q tende a P e la secante tende alla tangente in P; ne segue

poi

cioè

se la linea l viene assegnata in coordinate parametriche x=x(t) ed y=y(t). Ipotizzando che la linea l possa essere descritta dalla funzione y=y(x):

Ritornando alla forma differenziale:

A(x,y)dx+B(x,y)dy [XI]

ipotizziamo A(x,y) e B(x,y) definite in ogni punto della linea l. Allora, queste due funzioni si possono interpretare come le componenti di un vettore

allora la [XI] viene generata dal prodotto scalare dei vettori

se il vettore v fosse una forza il prodotto scalare visto darebbe luogo al lavoro elementare dL compiuto dalla forza spostando il suo punto di applicazione dr lungo l.

integrando quest'ultima su tutta la linea abbiamo

che rappresenta il lavoro compiuto dalla forza spostando il suo punto di applicazione lungo tutta la linea l. In particolare, se fosse la forza che agisce sull'unità di massa, l'integrale:

Se fosse la forza che agisce sull'unità di carica elettrica, l'integrale

Sarebbe il lavoro compiuto dalla forza sulla carica q per spostarla lungo tutta la linea l.

Interpretazione geometrica dell'integrale curvilineo

L'integrale curvilineo ha anche un significato geometrico Facendo i soliti presupposti, cioè che esista un legame y=φ(x) oppure x=ψ(y) e la linea γ di equazione z=f(x,y)=f[x,φ(x)] inoltre ipotizziamo a≤x≤b e c≤y≤d.

La superficie delimitata da l, γ ed i segmenti BC ed AD, si proietta nel trapezoide A₁B₁C₁D₁ del piano zx e nel trapezoide A₂B₂C₂D₂ del piano yz; l'elemento dl ha per proiezioni sui due assi x ed y rispettivamente gli elementi dx e dy.
La striscia MNPQ si proietta nelle due proiezioni M₁N₁P₁Q₁ ed M₂N₂P₂Q₂ dei piani xz ed yz. Queste ultime due proiezioni hanno la caratteristica che : per qualsiasi coppia x,y di dl la quota z=f(x,y) è la stessa per la striscia MNPQ e per le sue due proiezioni. Si verifica che per un certo x,y di dl.

f(x,y)dx è l'area della proiezione M₁N₁P₁Q₁.
f(x,y)dy è l'area della proiezione M₂N₂P₂Q₂.
f(x,y)dl è l'area della striscia MNPQ.

Se suddividiamo la linea l in infiniti elementi dl, sommando le infinite aree che si ottengono

è l'area del trapezoide A₁B₁C₁D₁.

è l'area del trapezoide A₂B₂C₂D₂.

è l'area della superficie ABCD.

In quest'ultimo caso bisogna ricordarsi che

se l ha equazione y=φ(x) con a≤x≤b

se l ha equazione x=ψ(x) con c≤y≤d

se l ha equazione parametrica x=x(t) ; y=y(t).

Ne consegue che se l viene assegnata in forma cartesiana

[XII]

mentre se viene assegnata in forma parametrica

[XIII]

Esempio:

Calcola lungo il percorso più corto che unisce i punti A(3,4) e B(4,3) della linea l di equazione x²+y²=25.

Possiamo trattare la circonferenza x²+y²=25 con le sue equazioni parametriche
x=5cosθ → dx=-5sinθ·dθ
y=5sinθ → dy=5cosθ ·dθ

Troviamo I valori di θ che individuano I punti A e B . Per individuare A(3,4) deve essere simultaneamente:

In modo analogo per individuare B(4,3)

La strada più corta è quella che partendo da A(θ₁=53,13°) conduce a B(θ₂=36,87°) quindi l'integrale diventa:

NB:dl viene in questo caso ottenuto osservando che è

Lunghezza di una linea curva piana

La [XII] e la [XII] diventano per f(x,y)=1

se l'equazione è assegnata in forma parametrica y=φ(x) o x=ψ(x) si ha

[XIV]

se l'equazione è assegnata con le sue equazioni parametriche x=x(t) ed y=y(t)

[XV]

Esempio: trovare la lunghezza della linea curva piana le cui equazioni parametriche sono:

tra i punti corrispondenti

Applicando la [XV] ottenendo

avremo

Integrali curvilinei indipendenti dal percorso di integrazione

Consideriamo due punti: P e Q sul piano xy uniti dal cammino di integrazione l₁ e l'integrale di linea

poi consideriamo l'integrale

calcolato sul cammino l₂ sempre congiungete P a Q.

Si possono considerare anche altri percorsi l₃, l₄,.. , l_n che congiungono P a Q; se risulta:

I₁=I₂=I₃=…=I_n

Può essere ragionevole pensare che l'integrale non dipenda dal percorso di integrazione.Si può dimostrare che se

cioè se la circuitazione della forma differenziale A(x,y)dx+B(x,y)dy è nulla allora l'integrale

dove l è una qualsiasi linea che unisce i due punti P e Q non dipende da l, ma solo dagli estremi Pe Q.
Infatti basta pensare di percorrere l₁ in senso positivo (da P a Q) ed l₂ in senso negativo (da Q a P) e si ha:

Questo vale per gli integrali curvilinei la cui funzione integranda A(x,y)dx+B(x,y)dy è un differenziale esatto.
Affinché l'espressione A(x,y)dx+B(x,y)dy sia un differenziale esatto,deve esistere una funzione z=f(x,y) tale che

se queste sono valide, si può osservare che

Per cui, la forma A(x,y)dx+B(x,y)dy è un differenziale esatto se si verifica:

L'integrale curvilineo di un differenziale esatto non dipende dal percorso di integrazione ma dagli estremi di tale percorso.

Integrale curvilineo nello spazio - lunghezza di una linea sghemba

Le equazioni parametriche di una linea γ nello spazio tridimensionale sono:
x=x(t)
y=y(t) z=z(t)
con t₁≤ t ≤ t². Nei punti di questa linea supponiamo siano definite tre funzioni continue

A(x,y,z); B(x,y,z); C(x,y,z) [XVI]

Un qualsiasi punto P di γ ha coordinate x(t), y(t), z(t). Queste coodinate possono essere interpretate come le componenti del vettore posizione quindi risulta essere

[XVII]

le tre funzioni [XVI] a loro volta possono interpretarsi come le componenti di un vettore definito come

differenziando entrambi i membri della [XVII] otteniamo

tangente in P alla linea γ e avente modulo

il prodotto scalare tra e ci permette di ottenere la seguente forma differenziale lineare:

[XVIII]

Questo prodotto scalare, fornisce il lavoro compiuto dal vettore per lo spostamento infinitesimo lungo la linea γ del punto di applicazione di ; cioè:

Per ottenere il lavoro compiuto lungo tutta la linea γ dobbiamo fare l'integrale:

Il modo meno faticoso per calcolare quest'ultimo integrale è quello di renderlo funzione del parametro t.

Il prodotto scalare tra due vettori, si sa che è dato dal prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

quindi se per ipotesi ed è tangente a γ in P (α=0) si ha

fornisce la lunghezza della linea γ

Se γ viene data in forma parametrica è quindi

Se invece γ viene assegnata in forma cartesiana con y=φ(x) e z=ψ(x) a≤x≤b si ha:

con