Carica del condensatore
Il fenomeno della carica di un condensatore all'interno di un circuito elettrico può essere studiato attraverso questo semplice schema.
se il condensatore è inizialmente scarico e l'interruttore è in posizione 0, si ha Vc=0 e VR=0 con i=0 (nessuna corrente è circolante). Quando l'interruttore viene portato in pos.1 si avrà Vc=E con VR=0 ed i=0, ma questo solo dopo che sarà trascorso un opportuno intervallo di tempo dalla commutazione.
E' possibile dimostrare che, se il condensatore è inizialmente scarico, il suo comportamento per raggiungere questa condizione di regime è regolato dalla legge:
con e=2 ,718..(numero di Nepero) e τ=RC (costante di tempo). La tensione ai capi del condensatore si porterà da 0 al valore della batteria E, attraverso un transitorio caratterizzato da un andamento esponenziale crescente come qui sotto descritto.
Sappiamo che per il condensatore vale la formula Q=C·V con la capacità C costante, quindi :
sapendo che 
in
termini differenziali
con
V tensione ai capi di C. Una volta chiuso il circuito in pos.1
quindi
integrando 
poniamo
lnK come costante di integrazione
da cui 
per ricavare la costante K osserviamo la condizione t=0 , dove essendo inizialmente scarico il condensatore si ha Vc=0 quindi
si conclude che la formula che regola la carica del condensatore vale
Scarica del condensatore
Ipotizzando che durante la fase di carica il condensatore abbia accumulato ai capi delle sue armature la tensione Vo , la fase di scarica può essere schematizzata col seguente disegno con l'interruttore T in pos.2.
per ragioni di opportunità invertiamo il senso della tensione VR , questo può essere fatto attribuendo il segno negativo alla corrente
in un qualsiasi istante appartenente al transitorio di scarica con 0 < Vc < Vo si nota come sia
con 
per
cui dalla
quindi
integrando
ponendo lnK come costante di integrazione
da
cui 
per t=0 si ha Vc=Vo dunque K=Vo.
Il fenomeno della scarica del condensatore è dunque regolato dalla formula
e può essere descritto da un andamento esponenziale decrescente della tensione Vc ai capi del condensatore
Più in generale per i circuiti RC può essere usata la seguente formula
Vi : tensione iniziale ai capi del condensatore
Vf : tensione finale ai capi del condensatore (a regime) se lo
consideriamo un circuito aperto per t →∞
Vc(t) : tensione attuale (al generico istante t) ai capi del condensatore.
Dalle formule si intuisce come il condensatore, durante un transitorio di accensione, possa essere considerato un corto circuito al tempo t=0 ed un circuito aperto a regime, per t → ∞.
se rappresentiamo
come la differenza fra la tensione raggiunta dal condensatore e quella di
regime finale e se
è la differenza fra la tensione di regime finale ed iniziale si ha la relazione
generale
Esempio
Nel circuito di figura, l’interruttore T1 viene chiuso all’istante t=0; dopo un tempo to=4,8 μs, T1 viene riaperto e contemporaneamente viene chiuso T2.
Trovare l’andamento della tensione vc ai capi del condensatore considerando:
E=40V
R=20kΩ
C=100pF
Trovare in particolare il valore della tensione ai capi di C dopo un tempo t=8,8 μs dall’istante iniziale to.
Dopo la chiusura dell’interruttore T1, il circuito può essere rappresentato nel modo seguente:
la tensione vc cresce esponenzialmente con legge:
il valore raggiunto dopo 4,8 &mus è:
dall’istante to=4,8 μs in poi, il condensatore si scarica attraverso la resistenza
partendo dal valore raggiunto vc1=36,4V si scarica secondo la legge:
