Distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson, anche chiamata distribuzione degli eventi
rari è una approssimazione della distribuzione
binomiale, definita per valori interi non negativi;
essa è utile quando si vogliono analizzare eventi rari o sporadici che si verificano in un contesto ben definito, come le chiamate in un call center o gli arrivi di clienti in un negozio.
La chiave di volta è che il numero medio di eventi deve rimanere costante nel tempo.
A differenza della distribuzione binomiale e ipergeometrica è illimitata. Come funzione di probabilità viene definita nella forma:
con
x ∈ N+=0,1,2,3.. e λ > 0
Il termine e=numero di Nepero=2,718
Il termine λ=np è il valor medio
Più precisamente si ha :
Si chiama distribuzione degli eventi rari perché può essere applicata quando
la probabilità p di successo è molto piccola (p → 0) quando il numero
n delle prove è molto elevato (n → ∞) quando il prodotto n·p
è costante ( λ=cost.).
L'approssimazione della binomiale ad una Poissoniana è accettatabile si
n>50 ed λ=n·p≤10.
La tabella allegata,
restituisce la probabilità cumulativa in funzione di x e di λ.
Si tratta di una distribuzione di probabilità dove si nota
perché
dall'analisi matematica si ha
E' possibile constatare che la distribuzione di Poisson ha una asimmetria positiva, inoltre al crescere di λ la distribuzione tende a diventare simmetrica.
| λ | px | |
| x | (cumul.) |
Esaminando l'andamento della distribuzione al variare di x si può calcolare il rapporto tra due probabilità successive:
si
ha px+1 ≥ px per 
cioè
se x ≤ λ-1.
Si distinguono tre casi:
1) λ < 1 : il massimo valore di probabilità si ha per
x=0 con po=e-λ.
2) λ=1 si hanno due massimi po=p1=e-λ.
3) λ > 1 la probabilità e crescente per x<λ-1 ed
è decrescente per x>λ .
Vi sono uno o due massimi di probabilità nell'intervallo λ-1
≤ x ≤ λ.
Esempio: studiare la distribuzione di probabilità della variabile casuale di Poisson con parametro λ=0,5 e tracciarne il grafico.
Calcoliamo i primi valori della distribuzione 
| x | px |
| 0 | e-0,5=0,6065 |
| 1 | 0,5e-0,5=0,3033 |
| 2 | 0,0758 |
| 3 | 0,0126 |
| 4 | 0,0016 |
Esempio: tracciare il grafico della distribuzione di Poisson per λ=1
Si ha, dunque, la distribuzione di probabilità 
| x | px |
| 0 | e-1=0,3679 |
| 1 | e-1=0,3679 |
| 2 | 0,0758 |
| 3 | 0,0126 |
| 4 | 0,0016 |
Esempio: è stato rilevato che il numero di auto che arrivano ad un casello ad intervalli di tempo costanti è una variabile casuale con λ=3. Disegnare una rappresentazione grafica e determinare la probabilità che in un intervallo prefissato arrivino meno di 3 auto.
La distribuzione ha legge 
| x | px |
| 0 | e-3=0,0489 |
| 1 | 3e-3=0,1494 |
| 2 | 0,2240 |
| 3 | 0,2240 |
| 4 | 0,1680 |
| 5 | 0,1008 |
| 6 | 0,0504 |
Distribuzione di Poisson e distribuzione di Bernoulli
E' possibile ottenere la distribuzione di Poisson dalla distribuzione
di Bernoulli tramite i seguenti passaggi.
Usando la variabile aleatoria X che indica il numero di successi e che
può assumere i valori interi positivi 1,2,3.. la distribuzione binomiale
può essere scritta
λ=n·p tenendo conto che q=1-p
sviluppando
si ha
sostituendo
L'approssimazione consiste nell'osservare che per n → ∞ dall'analisi si ha
inoltre
e 
si
ha 
Valor medio
Il calcolo del valor medio (valore atteso o speranza matematica) si ottiene con i seguenti passaggi:
Varianza
La dimostrazione che σ2=λ è più complessa:
ma per gli n valori 
dunque
partendo
da qui si osserva:
Sulla
prima serie, usando l'uguaglianza (artificio) x2=x(x-1)+x
la seconda serie, già sappiamo ha somma λ mentre la prima
quindi, si avrà: σ2=(λ2+λ)- λ2=λ