Correlazione

               

Mentre la regressione determina una funzione, la correlazione conduce a misurare la forza del legame tra due variabili.

Si definisce coefficiente di correlazione lineare di Bravais-Pearson il rapporto tra la covarianza di X e di Y e il prodotto degli scarti quadratici medi (dev.std.) di X e di Y.

Se chiamiamo come al solito lo scarto x'_i=(x_i-μ) ricordando che

    e          si ha

L'indice di correlazione r ha le seguenti proprietà

• è un valore dimensionale e non dipende dalle dimensioni di X o Y
• ha un valore compreso tra -1 e +1 : -1 ≤ r ≤ +1
• se r > 0 la correlazione è diretta o positiva
• se r < 0 la correlazione è inversa o negativa
• se r=1 la correlazione è perfetta diretta
• se r=-1 la correlazione è perfetta inversa
• se r=0 non esiste correlazione lineare, potrebbe però esistere una correlazione curvilinea, cioè le due variabili potrebbero essere legate da una relazione di tipo parabolico o di tipo esponenziale. etc.

Tenendo presente l'espressione delle due rette di regressione:

y=a+bx
x=c+dy

un'altra importante proprietà del coefficiente di correlazione lineare è

quindi, r è la media geometrica dei due coefficienti di regressione, preceduta da '+' se o due coefficienti sono positivi e dal segno '-' se i due coefficienti sono negativi, infatti se eseguiamo il prodotto dei coefficienti di regressione lineare.

coefficiente di determinazione

     

Consideriamo la varianza della variabile Y

Contrassegnando con i valori di Y teorici per ciascun x_i e contrassegnando con y_i i valori rilevati della Y, per ciascun valore x_i dal grafico si vede come sia dunque

elevando al quadrato e sommando per n punti

E' possibile dimostrare in base al metodo dei minimi quadrati che il termine indicato è nullo. Si ha in definitiva

La varianza della variabile Y si decompone in una parte detta varianza spiegata, in quanto la variabilità della Y è dovuta alla dipendenza di Y da X; e in una parte detta varianza non spiegata in quanto la variabilità della Y non dipende dalla X ma da altri fattori.

Come si può notare

          coefficiente di determinazione  

Il coefficiente di determinazione, indica quale frazione di varianza totale è dovuta alla dipendenza lineare tra Y ed X, cioè indica quanto il modello di regressione lineare è aderente al fenomeno empirico che si sta studiando. Tanto più r² è prossimo ad 1 tanto maggiore è la 'bontà' del modello lineare.

  Esempio  : nella tabella vi sono le rilevazioni del profitto e delle spese ( in mln.di Euro) sostenute da n=6 aziende calcolare il coefficiente di regressione e valutare il leagame tra le due variabili.

azienda	profitto	spese
A	50	20
B	60	40
C	30	14
D	85	50
E	95	60
F	40	26

Dalla tabella successiva

applicando il metodo dei minimi quadrati si ottiene

le rette di regressione sono

              con

La correlazione può essere ritenuta molto buona, inoltre è r²=0,9265 dunque il 92,65% della varianza di Y è spiegata dalla dipendenza con la X. Il legame tra le due variabili può essere considerato forte.