Funzione di trasferimento di sistemi termici

      

La trasmissione del calore per conduzione, avviene con la legge:

dove le costanti sono la massa m ed il calore specifico c mentre la temperatura T e la quantità di calore Q sono funzioni del tempo. Indichiamo C=m·c la capacità termica [J/°K];

         con        

quindi si definisce       

il flusso termico φ cioè la quantità di calore assorbita da un corpo nell'unità di tempo, di conseguenza

effettuando la trasformata di Laplace su entrambi i membri

sotto l'effetto di un flusso costante φ_o si avrebbe    

Oltre alla capacità termica vi è una resistenza termica che può essere definita facendo riferimento alla legge di Fourier sulla trasmissione del calore fra due superfici con

riscrivendo la precedente...

        sotto un certo punto di vista ci ricorda la legge di Ohm    

In questo caso la R caratterizza la resistenza che incontra il calore nell'attraversare la parete.

Un generico sistema termico come ad esempio un forno, è caratterizzato da un flusso φ di calore generato da un radiatore in ingresso; parte di questo calore φ_i concorre a riscaldare il forno alla temperatura interna T(t) ma una altra parte φ_e riesce a superare le pareti e si disperde nell'ambiente esterno a temperatura costante T_e.

       riscrivendo

                trasformando

inizialmente la temperatura interna del forno è uguale a quella esterna: T(0)=T_e.

     se il flusso fornito è costante     

       prendiamo la tabella e antitrasformiamo

L'andamento della temperatura, sarà una salita esponenziale con valore iniziale T_e che tende asintoticamente al valore T_e+Rφ_o.

Analogia elettrica

      

Abbiamo visto come   può essere ritenuta analoga alla legge di Ohm

se la differenza di temperatura fra la superficie interna più calda e la superficie esterna più fredda   si instaura un flusso di calore φ che attraversa la superficie dal lato più caldo a quello più freddo.

Chiaramente le due resistenze non hanno la stessa unità di misura, perché una è di natura termica, l'altra di natura elettrica. Infatti bisognerebbe specificare

         resistenza elettrica

     resistenza termica

Si nota poi per la capacità termica con l'analogia  con la    quantità della carica elettrica sulla superficie di un condensatore elettrico quindi:

Si nota che non esiste una grandezza termica equivalente all'induttanza, questo rende le equivalenze termiche molto semplici e significa che in campo termico non esistono dualità come nei sistemi elettrici.

A questo punto bisogna specificare che la  è valida solo idealmente, infatti, a sua volta, la parete acquisisce una certa quantità di calore e non si comporta soltanto come una resistenza termica