Componenti elettrici e meccanici

    

I circuiti elettrici possono essere schematizzati come costituiti da componenti ideali:generatori, condensatori, resistenze ed induttori. I generatori di tensione e di corrente possono essere intesi come componenti attivi, gli altri sono invece componenti passivi. Indicando con v(t) e con i(t) la corrente e la tensione che li attraversa, valgono le seguenti relazioni:

Ricordando sempre che il resistore è un componente dissipativo mentre induttore e condensatore sono elementi conservativi.

come nei sistemi elettrici, anche nei sistemi meccanici (ad un solo grado di libertà) si possono individuare gli elementi ideali che li costituiscono, infatti a parte i generatori di forza o di velocità si hanno:
- Lo smorzatore; elemento di attrito dissipativo avente simbolo β dato che il suo parametro caratteristico è il coefficiente di attrito viscoso [Forza/Velocità].
- La massa, elemento conservativo con simbolo m con dimensioni [Forza/accelerazione].
- La molla, anch'essa elemento conservativo con simbolo k, coefficiente di elasticità con dimensioni [Forza/Spostamento].

Per questi tre componenti, indicando con F(t) la forza ad essi applicata e con w(t) la velocità, valgono le seguenti relazioni:

Nel caso della massa si ricorda che    con

mentre per la molla si ha   essendo

Di seguito è disegnato un sistema meccanico dove la massa m è mobile lungo la retta x; è soggetta ad una forza F(t) alla quale si oppongono la forza elastica di richiamo -kx e lo smorzamento viscoso -βw.
I tre componenti sono rigidamente collegati fra loro e hanno la stessa velocità w:

Deve essere applicato il principio di D'Alembert per ottenere l'equazione del moto

                 ordinando

         

chiamando ovviamente w la velocità.
Notiamo la completa analogia con i casi elettrici:

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La prima scelta (forza/tensione, velocità/corrente) è nota come analogia forza/flusso, mentre la seconda scelta (forza/corrente,velocità/tensione) è chiamata analogia passante/traversa.

Pur essendo il modello forza/flusso più intuitivo, l'analogia più usata è quella passante/traversa dalla quale è poi possibile ottenere uno schema forza/flusso applicando il principio di dualità.

Per entrambe le analogie, il sistema fisso di riferimento corrisponde alla terra in senso elettrico, inoltre la posizione della massa è sempre misurata rispetto ad un, sistema di riferimento, per cui il condensatore o l'induttore equivalenti devono sempre avere un morsetto collegato a terra (si deduce che ci possono esistere circuiti elettrici a cui non corrisponde nessun sistema meccanico analogo).

Sistema molla-smorzatore

    

Sistema massa-smorzatore

    

Sistema massa-molla-smorzatore

    

Sistema articolato

    

In presenza di più elementi, ad ogni massa del sistema meccanico, corrisponde un nodo della rete elettrica equivalente, per cui si avranno soltanto i nodi (1) e (2) associati rispettivamente alle masse m₁ ed m₂.
La massa m₁ e la forza F corrispondono ad una capacità di valore m₁ e ad un generatore di corrente F connessi fra il nodo (1) e la terra. La massa m₂ e la molla k₂ equivalente equivalgono ad una capacità di valore m₂ e ad una induttanza di valore 1/k₂ tra il nodo (2) e la terra.
Infine la molla di costante k₁ e lo smorzatore equivalgono ad una induttanza 1/k₁ e a una resistenza 1/β connessi tra i due nodi (1) e (2). Pertanto:

Sistemi idraulici

    

I sistemi idraulici sono dei particolari sistemi meccanici, ma in questo caso preferiamo considerarli una categoria a se stante. Gli elementi fondamentali di un sistema idraulico sono le condotte, i serbatoi e le valvole.

Condotte

    

Supponiamo che le condotte siano a sezione costante, fatta eccezione per qualche tratto dove si ammette una riduzione di sezione dovuta ad una valvola. Le condotte possono anche non essere orizzontali e presentare tratti in salita o in discesa. Per questo motivo si preferisce descrivere il moto del fluido usando un'altezza invece che la pressione.

Si suppone Q=costante in ogni sezione della condotta.
Se Q=0 l'altezza, misurata in tutti i tubi piezometrici è la stessa.
Se Q>0, la differenza delle altezze piezometriche h_i ed h_j relative a due tubi T_i e T_j è funzione della variabile Q.    

  

 Questa funzione, oltre ad essere nulla per Q=0 è sempre crescente all'aumentare di Q. Si può dunque scrivere:

Dove R è la resistenza idraulica; questa resistenza si intende distribuita sui tratti lineari della condotta, mentre è detta concentrata in prossimità di una strozzatura della sezione dovuta ad esempio alla presenza di una valvola.

Nel seguito metteremo questa formula in analogia con la legge di Ohm ai capi di un bipolo resistivo.

Serbatoi

    

In figura è disegnato un serbatoio di sezione S mantenuta costante lungo la sua altezza.

dalla definizione di portata volumetrica                

se la sezione S del serbatoio è costante, portando la relazione in termini infinitesimali:

è qui evidente l'analogia con la relazione fra tensione e corrente ai capi di un condensatore:

Valvole

    

Nel disegno sopra riportato, nel tratto di tubazione fra T₃ e T₄ è presente una valvola per tale tratto è prevista la forma :

Con R resistenza idraulica concentrata dovuta alla valvola. ma questa è valida solo nel caso che l'apertura della valvola rimanga costante; al variare di tale apertura, R varia. La forma precedente, deve essere corretta come :

con δ costante di proporzionalità ed a il grado di apertura della valvola.
Ovviamente deve essere 0 a 1 con a=0=valvola chiusa e a=1=valvola completamente aperta.
Per a=0 deve essere Q=0 ed h_i-h_j può assumere valori diversi a secondo di condizioni imposte dall'esterno, mentre per a=1 la caduta di pressione è trascurabile e deve risultare h_i-h_j=0.
L'equazione linearizzata ottenuta può essere ritenuta accettabile per variazioni contenute abbastanza lontane dagli estremi della corsa.
Il grado di apertura può essere rappresentato come una opportuna funzione crescente della posizione angolare dell'albero meccanico che comanda la valvola.

imponendo una proporzionalità   l'equazione precedente diventa:

                  con                   

Tra le grandezze idrauliche e quelle elettriche si possono stabilire le corrispondenze:

Nella tabella non appare l'induttanza in quanto il suo analogo idraulico è rappresentato dall'inerzia delle masse dei liquidi nelle condotte che nella maggior parte dei casi pratici è trascurabile.

Per rappresentare il circuito elettrico di un sistema idraulico, bisogna tener presente che un circuito elettrico è sempre chiuso su se stesso, mentre il percorso di un fluido può non esserlo. Risulta dunque conveniente rappresentare l'analogo elettrico di ciascuno degli elementi idraulici come un quadripolo; si hanno i seguenti circuiti equivalenti.

Come si vede nell'ultimo caso è presente un generatore di tensione dipendente dall'angolo di apertura della valvola.

Ad esempio, per determinare il circuito elettrico analogo di un serbatoio con valvola di accesso

Un altro esempio consiste nel determinare il circuito elettrico equivalente del seguente sistema

si considerano i due serbatoi S₁ es S₂ assimilabili a due capacità, mentre i due tratti di tubo equivalgono a due resistenze R₁ ed R₂.

La portata del tubo Q₁ del fluido convogliata nel serbatoio di ingresso diventa un generatore di corrente che alimenta il circuito elettrico.
Poiché il riferimento di livello a partire dal quale si misurano le altezze piezometriche è arbitrario, esso si può sempre scegliere in modo da porre h₃=0.
In questo modo i due morsetti di uscita del circuito elettrico possono essere collegati da un corto.