Vincoli e reazioni

     

I vincoli sono condizioni che limitano il movimento di un corpo o di una particella nel tempo e nello spazio.

Quando un corpo non è libero di spostarsi in tutte le direzioni si dice che tale corpo è vincolato.
Un vincolo limita, dunque, lo spostamento di un corpo.
Un corpo vincolato è soggetto all'azione di forze, i vincoli sviluppano forze contrarie chiamate reazioni.

I vincoli vengono classificati in base al numero di movimenti che essi sono in grado di impedire:traslazione verticale, traslazione orizzontale e rotazione.

Il carrello, toglie solamente la possibilità di traslazione sulla normale alla sua retta di scorrimento; mentre è libero di scorrere (in senso orizzontale) e di ruotare.
l'appoggio e il carrello sono vincoli semplici perché tolgono solo un grado di libertà; essi reagiscono dunque con una sola reazione vincolare.

Poi esistono  vincoli doppi  come la cerniera, il pattino e il manicotto.

Come nel caso del pattino e il manicotto, toglie due gradi di libertà. Essi reagiscono, dunque,
con due reazioni vincolari.

Equazioni cardinali della statica

     

Se indichiamo con R la risultante delle forze attive applicate ad un corpo ed R' la risultante delle reazioni vincolari;
se M è il momento della forze attive applicate ed M' il momento delle reazioni vincolari;
affinché il corpo sia in equilibrio deve essere :

Sono valide per qualunque sistema, per qualunque tipo di vincolo, per qualsiasi sistema di forze.
Sono necessarie per l'equilibrio di un sistema ma sono solo sufficienti per i corpi rigidi e non per quelli deformabili.

    Applicazione delle equazioni cardinali della statica

Il caso più immediato che si può considerare è quello di un corpo (una trave) appoggiato agli estremi e soggetto a un carico.

dalla prima equazione cardinale della statica avremo:

           quindi..
                 le reazioni vincolari devono bilanciare le forze esterne

Poi, scegliamo arbitrariamente un punto rispetto al quale eseguire la seconda equazione cardinale della statica; fulcrando la trave in A e scegliendo positivi i momenti orari:

          cioè..
               quindi..         

La reazione vincolare in A non contribuisce con alcun momento dato che il suo braccio è nullo rispetto ad A. Sostituendo quest'ultimo valore nella prima equazione avremo..
          per cui..                   avremo:           
allo stesso risultato si perverrebbe fulcrando la trave in B.

    Carico distribuito linearmente  
E' possibile determinare la risultante di carichi distribuiti, ricordando che per una distribuzione lineare vale la regola:

dove q è il valore del carico distribuito sull'unità di lunghezza espresso in (N/m)

    Carico distribuito con legge triangolare  
Ricordiamo le regole che permettono di ricavare la risultante per un carico distribuito con legge lineare:


dove q_max è il valore massimo del carico distribuito sull'unità di lunghezza (N/m).

Computo dei vincoli

     

Davanti ad un problema sulla valutazione della stabilità di un sistema, abbiamo a disposizione soltanto le equazioni cardinali della statica; quindi possiamo calcolare le reazioni vincolari solo per quei sistemi in cui il numero di equazioni (in genere 3) uguaglia o è superiore al numero di incognite ( in genere le reazioni vincolari).

E' possibile constatare che la posizione di un corpo rigido, su di un piano è completamente determinata dalla conoscenza di 3 parametri (le coordinate x,y di un suo punto e l'angolo che esso forma rispetto ad un asse di riferimento).

In modo analogo per limitare le libertà di movimento di tale corpo occorrono almeno 3 vincoli cioè la traslazione lungo due direzioni ortogonali e la rotazione attorno ad un punto qualsiasi. Pertanto, possiamo contrastare i possibili movimenti di un corpo, applicando ad esso tre vincoli semplici, oppure un vincolo doppio e uno semplice, oppure un vincolo triplo.

E' possibile vincolare una struttura con un numero maggiore di vincoli, rispetto a quello che sono i suoi gradi di libertà; come nel caso dell'arco a due cerniere:

In tal caso la struttura ha 3 gradi di libertà e 4 reazioni vincolari H_A,V_A,H_B e V_B . Una eventuale applicazione delle equazioni cardinali, ci metterebbe a disposizione tre equazioni in presenza di queste quattro incognite.

Secondo la Statica, questo, è un sistema indeterminato e questa struttura viene chiamata iperstatica.

Viceversa, nella figura precedente si vede un'asta vincolata da due carrelli che tolgono un grado di libertà ciascuno. Mancando un terzo vincolo, la struttura è libera di muoversi e viene chiamata labile.

In generale si ha a che fare con strutture isostatiche, con tre vincoli che è il caso strettamente necessario ad impedire ogni tipo di movimento. Quindi, riassumendo, per un corpo rigido, chiamando v=numero di vincoli a cui è soggetto si avrà:


a=numero di appoggi o carrelli ( 1 g.v.)
c=numero di cerniere ( 2 g.v.)
i=numero di incastri ( 3 g.v.)

Dato che per un singolo corpo rigido i gradi di libertà sono 3:

v<3 struttura labile
v=3 struttura isostatica
v>3 struttura iperstatica

E' frequente avere a che fare con sistemi strutturali composti da più corpi rigidi vincolati fra loro tramite cerniere. In tal caso i gradi di libertà sono l=3n, dove n è il numero di elementi componenti il sistema. Il numero di vincoli che assoggetta il sistema è:

dove m è il numero di elementi che concorrono in ogni cerniera.
Infatti, ogni cerniera, toglie 2 gradi di libertà ad ogni elemento concorrente, ma può spostarsi nel piano secondo 2 direzioni conservando 2 gradi di libertà:

per queste strutture composte:

     strutture labili
      strutture isostatiche
     strutture iperstatiche


La struttura precedente è un 'arco a tre cerniere; notiamo, come essa, sia costituita da n=2 elementi quindi i gradi di libertà sono:l=3n=6. E' fissato con una cerniera (2g.v.) un carrello (1g.v.); viè inoltre una cerniera interna in cui concorrono i due elementi:



La struttura è labile, dato che i gradi di libertà sono in numero maggiore dei gradi di vincolo.



In questo non abbiamo nessun incastro; la cerniera D l'appoggio B e il carrello C (che è come un appoggio perché toglie un solo grado di libertà), Abbiamo un'unica cerniera interna in cui convergono i due elementi; i gradi di libertà totali sono l=3n=6 appunto, dato che gli elementi complessivi sono 2.

La struttura è isostatica.

La struttura riportata è sempre un arco a tre cerniere con l=3n=6 gradi di libertà, ma stavolta, in virtù della presenza di un incastro (3g.v.) il computo delle reazioni vincolari ci porta a scrivere:



La struttura, è in questo caso iperstatica (una volta iperstatica).