Impulso di forza e quantità di moto

Consideriamo la seconda legge di Newton nella sua forma più semplice e moltiplichiamo entrambi i membri per il tempo t.

ma a·t=v velocità

Supponiamo di voler avviare un corpo dotato di massa (m) inizialmente fermo e di voler fargli raggiungere una certa velocità (v): possiamo ottenere questo risultato in due modi:

1 usando una forza piccola applicandola per un lungo periodo di tempo
2 usando una forza grande applicandola per un breve periodo di tempo

Se la forza F rimane applicata per un tempo t, il corpo mobile acquista una certa accelerazione (a) che per la cinematica vale

con v_o=velocità iniziale e v=velocità finale acquisita ; sostituendo

I=F·t=impulso di forza
p=m·v=quantità di moto

Teorema dell'impulso: La variazione della quantità di moto è uguale all'impulso della forza che agisce su un corpo.

Queste considerazioni valgono nel caso di un singolo corpo; se in un sistema vi sono almeno due corpi come indicato nel disegno, vale il

Principio di conservazione della quantità di moto: la quantità di moto totale di un sistema composto da due particelle soggette soltanto alla loro mutua interazione rimane costante.

all'istante t la particella 1 si trova in A con velocità v₁ e la particella 2 si trova in B con velocità v₂. In un istante successivo t' le particelle si trovano in A' e B' con velocità v₁' e v₂'.

Se indichiamo con m₁ ed m₂ le rispettive masse delle due particelle, la quantità di moto complessiva del sistema è

Nell'istante successivo t' avremo

Per il principio di conservazione della quantità di moto avremo:

Queste considerazioni portano alla seguente osservazione: un'interazione fra due particelle produce uno scambio di quantità di moto, cosicché la quantità di moto persa da una delle due particelle è uguale alla quantità di moto guadagnata dall'altra particella.

sottraendo membro a membro

cioè quindi:

notando che

La forza è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto (secondo principio della dinamica)

differenziando rispetto al tempo t: l'equazione precedente diventa:

Quando due particelle interagiscono , la forza agente su una particella è uguale ed opposta alla forza agente sull'altra (che poi coincide col terzo principio della dinamica).