Pendolo semplice

          

Il pendolo semplice è definito come una particella di massa m, sospesa ad un punto O ad un filo inestensibile di lunghezza l e di massa trascurabile

In condizione di equilibrio statico il corpo occupa la posizione D,in modo che il proprio baricentro si trovi sulla retta verticale passante per il punto di sospensione O.
Scostando il corpo puntiforme dalla sua posizione di equilibrio, fino a portarlo al punto B, esso tende a tornare in D, ma per inerzia non si ferma in quel punto, bensì prosegue fino alla posizione C,simmetrica al punto B di partenza.
Poi, invertito il moto, ritornerà in B compiendo una serie di oscillazioni che se si trascurano le resistenze passive saranno tutte uguali e continueranno indefinitivamente nel tempo.
La presenza delle resistenze passive altera in realtà lo stato di cose appena descritte: le oscillazioni diverranno sempre meno ampie (oscillazioni smorzate) e pian piano il pendolo ritornerà nella sua condizione di equilibrio in D.

Identificando con s l'arco di circonferenza AD cerchiamo adesso, di studiare il moto della massa m tenendo conto del sistema di riferimento cartesiano adottato.

La componente F_n si elide col tiro T del filo che abbiamo detto è indeformabile. La componente F_t produce il moto del corpo verso la sua posizione di equilibrio ma la sua intensità in funzione del seno dell'angolo decresce fino ad annullarsi nel punto D in cui θ=0. Per la seconda legge della dinamica

           ma se un moto si svolge lungo una traiettoria circolare di raggio R si avrebbe

      perchè        con ω: velocità angolare

nel nostro caso R=l=lunghezza del filo

          

quindi l'equazione del moto è    

dunque bisogna risolvere l'equazione differenziale omogenea di secondo grado a coefficienti costanti che se manteniamo in questa forma è molto laboriosa da risolvere e porta a considerare degli integrali ellittici. Limitiamoci allora a valutare questa relazione solo per le piccole oscillazioni ( 10°< ) ponendo

         con    

quest'ultima è completamente analoga all'equazione del moto armonico che ha soluzione   

    a

con θ_m e ɸ costanti di integrazione dipendenti dalle condizioni iniziali.

L'analogia si deduce dal fatto che per piccole oscillazioni

    con

   b

La a e la b sono proporzionali per mezzo del fattore di scala l (lunghezza del pendolo).

Il periodo del pendolo semplice risulta, dunque, essere:

   

Si vede che il periodo è indipendente dalla massa del pendolo e dall'ampiezza delle oscillazioni.

: angolo 45°

: lunghezza 100 px

: smorzamento 0

Pendolo composto

          

Supponiamo di vincolare parzialmente un corpo di forma qualsiasi,ponendo una cerniera (O) in un punto diverso dal suo baricentro

il corpo soggetto esclusivamente al peso proprio, è in equilibrio solo quando la retta d'azione del peso passa per la cerniera O.
Se viene spostato da tale posizione, inizia una serie di oscillazioni,esattamente come un pendolo.

E' chiaro però che ad esso non possono essere applicate le leggi del pendolo, ricavate nel caso precedente del pendolo semplice, a causa della diversa distribuzione dei pesi parziali. Un sistema oscillante come quello descritto viene solitamente chiamato pendolo composto.

Lo studio dinamico di un pendolo composto è notevolmente semplificato, se si ricorre all'artificio di ricondurre il suo moto a quello di un pendolo semplice di lunghezza l (lunghezza ridotta).
Il corpo rigido costituente il pendolo composto è soggetto ad un momento

    Applicando la seconda legge della dinamica per un corpo rigido in rotazione   

con J : momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse di rotazione ed α : accelerazione angolare; si ha

J può essere ottenuto dal momento di inerzia baricentrico J_G con la formula di trasposizione

      con            

con ρ : raggio di inerzia rispetto al baricentro del corpo; ne consegue

   con          raggio giratore ;  si ha in definitiva

Invece, il pendolo semplice equivalente, è soggetto ad un momento

      per questo        dunque

dato che per i due pendoli devono valere le stesse regole dinamiche, le accelerazioni angolari α devono essere uguali

      Il periodo delle oscillazioni sarà dunque

   

Si nota come il periodo del pendolo composto sia indipendente dalla sua massa e dalla sua forma geometrica.
Alle stesse conclusioni si potrebbe arrivare inquadrando il sistema nel sistema di coordinate già usando in precedenza

   usando l'equazione

sempre usando l'approssimazione sinθ∼θ

essendo     diventa     risolvendo in modo analogo alll'equazione precedente si avrebbe