Risonanza

    

E' noto dall'esperienza che una piccola spinta su un pendolo lo fa oscillare ad una frequenza molto precisa, chiamata frequenza naturale, che dipende dalla lunghezza della corsa ma non dalle caratteristiche della forza esercitata sul sistema (frequenza naturale).

Se, invece di applicare una singola spinta, la si ripete successivamente ad intervalli regolari nel tempo, possiamo studiare come l'oscillazione risponde ai cambiamenti della nostra frequenza guida esercitata esternamente.
Notiamo che quando la frequenza di guida (oscillazioni forzate) è vicina alla frequenza naturale dell'oscillazione, quest'ultima tende ad oscillare sempre più ampiamente. Invece a frequenze della causa forzante esterna molto più alte o più basse della frequenza naturale, l'oscillazione del sistema viene ostacolata. Si conclude che la frequenza naturale di oscillazione è anche la frequenza alla quale una forza esterna trasferisce energia al sistema vibrante nel modo più efficiente.

La risonanza è un fenomeno fisico che si verifica quando una sollecitazione forza un altro sistema ad oscillare con maggiore ampiezza a una frequenza operativa specifica.

Le onde stazionarie sono sempre associate alla risonanza. La risonanza può essere identificata da un evidente aumento dell'ampiezza delle oscillazioni risultanti.

Le onde stazionarie su una corda sono tipicamente indotte dalla riflessione di onde in moto dalle estremità della corda. Se un'estremità è fissa essa deve essere sede di un nodo. Queste condizioni limitano le frequenze alle quali le onde stazionarie si verificano su una data corda.

Qualsiasi sistema in cui si possono formare onde stazionarie ha numerose frequenze naturali. L'insieme di tutte le possibili onde stazionarie è noto come armoniche di un sistema. La più semplice delle armoniche è chiamata fondamentale o prima armonica. Le successive onde stazionarie sono chiamate seconda armonica, terza armonica, ecc.

Se una corda viene fatta vibrare ad una frequenza diversa da queste frequenze naturali non si forma un'onda stazionaria e l'interferenza non si manifesta se non in piccole ed impercettibili oscillazioni.

Un'onda stazionaria è dunque sempre associata ad una frequenza di risonanza ammissibile dal sistema in analisi.

Lo schema di oscillazione per un sistema che ammette onde stazionarie, può essere dedotto, come ad esempio nel caso una corda tesa con estremità fissate che viene fatta oscillare in modo da avere onde stazionarie.

a Lo schema più semplice possibile, la fondamentale o prima armonica, consiste in un occhiello, termine che indica la forma composta data dalla corda nelle sue posizioni estreme (la linea continua e quella tratteggiata).

bLo schema della seconda armonica presenta due occhielli.

cLo schema della terza armonica ha tre occhielli.

In pratica su una corda di lunghezza L si può creare un’onda stazionaria la cui lunghezza d’onda è data dalla:

$$λ={2L}/n \; con \; n=1,2,3…$$

allora potremo scrivere

$$f=v/λ=v/{2L}n \;\;con\;\;n=1,2,3…$$

Questa equazione ci dice che le frequenze di risonanza sono multipli interi della frequenza di risonanza minore, $f= v/{2L}$, che corrisponde a n = 1.
Lo schema di oscillazione con questa frequenza più bassa è detto schema fondamentale o prima armonica. La seconda armonica è lo schema di oscillazione con n = 2, la terza armonica è quello con n = 3, e così di seguito.

Velocità di gruppo

    

Come si è visto, le onde stazionarie sono sostanzialmente delle onde con la stessa frequenza, la stessa ampiezza (opposta) la stessa velocità ( opposta ) che entrano in interferenza fra loro. Ma la generazione e la trasmissione di segnali sonori o elettromagnetici comporta delle caratteristiche più complesse nella combinazione di più segnali elementari. Ipotizziamo due sinusoidi di frequenze $f=ω/{2π}$ ed $f’={ω'}/{2π}$ con f ed f’ molto vicine fra loro (quindi ω ≃ω’). Sommando queste due onde progressive si ha:

$y(x,t)=y_m cos(ωt-kx)+y_m cos(ω’t-k’x)$

applicando poi la

$$cosp+cosq=2cos({p+q}/2) cos({p-q}/2)$$

avremo

$$y(x,t)=2y_m cos[{(ω-ω’)t-(k-k’)x}/2] cos[{(ω+ω’)t-(k+k’)x}/2]$$

localizzata per x=0

$$y(x,t)=2y_m cos[{(ω-ω’)t}/2] cos[{(ω+ω’)t }/2]=A·cosωt$$

L’onda risultante è un’onda periodica con ampiezza:

$$A=2y_m cos[{(ω-ω’)}/2t]$$

variabile nel tempo con pulsazione

$${(ω+ω’)/2}≃ω$$

Teoricamente si tratterebbe della media aritmetica delle pulsazioni delle due componenti.
Se anche le velocità delle due onde sono molto prossime fra loro:

$$ω=kv \;⟶\; ω/v=k≃k’$$

L’espressione completa di questo segnale può essere così approssimata:

$$y(x,t)=2y_m cos[{(ω-ω’)t-(k-k’)x}/2] cos(ωt-kx)=A·cos(ωt-kx)$$

Si deduce che l’onda risultante è in movimento con una velocità:

$$v_g={ω-ω’}/{k-k’}={dω}/{dk}$$

$v_g$=velocità di gruppo.
quindi è

$$v_g=d/{dk}(kv)=v{dk}/{dk}+k{dv}/{dk}=v+ k{dv}/{dk}$$

Questo fenomeno, noto col nome di battimenti, è caratteristico di quando si combinano due onde sonore con le caratteristiche suddette, generando un unico suono che ha la frequenza uguale alla media delle due frequenze ed intensità variabile nel tempo.