Esercizio 37

Una corda è tesa tra due supporti fissi separati da una distanza di 75 cm. Si sono osservate le frequenze di risonanza di 420 e di 315 Hz, e nessun'altra frequenza di risonanza tra queste due. Qual è la frequenza di risonanza più bassa per questa corda? Qual è la velocità dell'onda?

Soluzione

Le lunghezze d'onda risonanti sono date da $λ= {2L}/n$, dove L è la lunghezza dell'onda e n è un numero intero e le frequenze di risonanza sono date da $f = v/λ = {nv}/{2L}$, dove v è la velocità dell'onda. Supponiamo che la frequenza più bassa sia associata all'intero n.
Quindi, poiché non ci sono frequenze di risonanza in mezzo, viene associata la frequenza più alta con n + 1. Cioè, $f_1 = {nv}/{2L}$ è la frequenza più bassa e $f_2 = (n + 1)v/{2L}$ è quella più alta. Il rapporto delle frequenze è

$$f_2/f_1={n+1}/n$$

esplicitando n

$$n=f_1/{f_2-f_1}=315/{420-315}$$

La più bassa frequenza di risonanza è

$$f=v/{2L}=f_1/n=315/3=105 Hz$$

La massima lunghezza d’onda possibile è $λ=2L$. Se f è la frequenza di risonanza più bassa possibile.

$$v=λf=2Lf=2(0,75)(105)=158 m/s$$