Esercizio 21

Un'onda sinusoidale è in moto lungo una corda con una velocità di 40cm/s. Si trova che lo spostamento della sezione elementare della corda corrispondente a x=10cm varia nel tempo secondo l'equazione $y=(5cm)sin[1-(4s^{-1})t]$
La massa lineica della corda è 4g/cm. Quali sono
(a) la frequenza;
(b) la lunghezza d'onda λ;
(c) il valore massimo y_m;
(d) il numero d'onda k;
(e) la pulsazione ω;
(f) il segno del fattore ωt nell’equazione dell’onda;
(g) calcolare da ultimo la tensione nella corda.

Soluzione

(a) L'espressione generale per y(x,t) per l'onda è $y(x,t)=y_m sin(kx-ωt)$ che per x=10cm diventa $y(10cm,t)=y_m sin[k(x-ωt)]$.
Confrontando questo dato con l'espressione data, troviamo $ω=4 {rad}/s$ o $f=ω/{2π}=9,64 Hz$

(b) Poiché $k(10cm)=1$ , il numero d'onda è $k=0,1/{cm}$ . Di conseguenza, la lunghezza d'onda è $λ={2π}/k=63 cm$ .

(c) L’ampiezza è esplicitata nell'equazione dell'onda $y_m=5 cm$.

(d) Nella parte (b), abbiamo dimostrato che il numero d'onda angolare è $k=0,1cm^{-1}$.

(e) Nella parte (a), abbiamo dimostrato la frequenza angolare è $ω=4 {rad}/s$.

(f) Il segno è meno poiché l'onda viaggia in direzione +x

Riassumendo i risultati ottenuti in precedenza sostituendo i valori di k e ω nell'espressione generale per y(x,t), con x in centimetri e t in secondi, otteniamo $y(x,t)=5 sin(0,1x-4t)$.
Essendo $v=ωt=√{τ/μ}$ , la tensione è

$$τ={ω^2μ}/k^2={4^2·4}/0,1^2=6400 {g·cm}/s^2=0,064 N$$