Esercizio 17

Un’onda sinusoidale trasversale di lunghezza d’onda 20cm si muove lungo una corda nel verso positivo delle x. Lo spostamento dalla posizione di equilibrio di una particella in x=0 in funzione del tempo è riportato nel seguente disegno



Trovare il valore massimo y_m il numero d’onda k la pulsazione ω, la costante di fase ϕ il segno del fattore ωt nell’quazione d’onda, la velocità dell’onda. Trovare inoltre la velocità trasversale nel punto x=0 all’istante t=5 s.

Soluzione

Dal disegno si vede che è y_m=4cm. Il numero d’onda viene ottenuto come

$$\mathit{k}=\frac{2\mathit{\pi }}{\mathit{\lambda }}=\frac{\mathit{\pi }}{10}=\mathrm{0,31}\frac{\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}}{\mathit{c}\mathit{m}}$$

La pulsazione ω può essere espressa come:

$$\mathit{\omega }=\frac{2\mathit{\pi }}{\mathit{T}}=\frac{\mathit{\pi }}{5}=\mathrm{0,63}\frac{\mathit{r}\mathit{a}\mathit{d}}{\mathit{s}}$$

Nel testo dell’esercizio viene specificato che l’onda è progressiva nel senso positivo dell’asse x, quidi il segno del termine ωt deve essere negativo.
Dunque l’equazione generale della forma d’onda descritta deve essere:

$$\mathit{y}\left(\mathit{x},\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_{\mathit{m}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{k}\mathit{x}-\mathit{\omega }\mathit{t}+\mathit{\varphi }\right)$$

dunque per x=0 dovrà essere

$$\mathit{y}\left(0,\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_{\mathit{m}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(-\mathit{\omega }\mathit{t}+\mathit{\varphi }\right)$$

ma comunque si tratta di una funzione sinusoidale positiva, sapendo che $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{x}\right)=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{\pi }-\mathit{x}\right)$ sarà $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(-\mathit{\omega }\mathit{t}+\mathit{\varphi }\right)=\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{\omega }\mathit{t}\right)$ dunque deve necessariamente essere ϕ=π per t=0 avremo allora:

$$\mathit{y}\left(0,\mathit{t}\right)={\mathit{y}}_{\mathit{m}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{k}\mathit{x}+\mathit{\pi }\right)=-{\mathit{y}}_{\mathit{m}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\mathit{k}\mathit{x}\right)$$

funzione sinusoidale negativa.

La velocità dell’onda può essere facilmente trovata sapendo che

$$\mathit{f}=\frac{1}{\mathit{T}}=\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}\mathit{H}\mathit{z}$$

poi $\mathit{v}=\mathit{\lambda }\mathit{f}=20·\mathrm{0,1}=2\frac{\mathit{c}\mathit{m}}{\mathit{s}}$.

L’equazione generale dell’onda è dunque esprimibile come

$$\mathit{y}\left(\mathit{x},\mathit{t}\right)=4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\frac{\mathit{\pi }\mathit{x}}{10}-\frac{\mathit{\pi }\mathit{t}}{5}+\mathit{\pi }\right)=-4\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\left(\frac{\mathit{\pi }\mathit{x}}{10}-\frac{\mathit{\pi }\mathit{t}}{5}\right)$$

derivando rispetto al tempo avremo

$$\mathit{u}\left(\mathit{x},\mathit{t}\right)=\frac{\partial \mathit{y}}{\partial \mathit{t}}=4\left(\frac{\mathit{\pi }}{\mathit{t}}\right)\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left(\frac{\mathit{\pi }\mathit{x}}{10}-\frac{\mathit{\pi }\mathit{t}}{5}\right)$$

che fornisce la soluzione $\mathit{u}\left(\mathrm{0,5}\right)=-\mathrm{2,5}\frac{\mathit{c}\mathit{m}}{\mathit{s}}$