Biella - manovella

     

Il biella-manovella è un cinematismo che trasmette potenza trasformando il moto rettilineo alternativo in moto rotatorio continuo e viceversa.

Gli elementi essenziali di questo meccanismo sono la biella b, la manovella m ed eventualmente il testa a croce x.

Il moto della manovella m è continuo e circolare, quello del piede di biella P è rettilineo ed alternato tutti i punti intermedi della biella hanno dei moti ellittici. Il bottone B di manovella (articolato alla testa di biella) descrive una traiettoria circolare di centro O (centro del centro di manovella) e raggio= lunghezza manovella.
Il piede di biella P e il pistone ad esso solidale descrivono una traiettoria rettilinea, i cui punti estremi, punto morto superiore (2) e punto morto inferiore (1) delimitano la corsa c che è uguale al doppio del raggio di manovella. La velocità del bottone di manovella B vale

La velocità media dello stantuffo vale

    [m/s]

in cui n è il numero di giri al minuto dell'albero e c è la corsa espressa in metri.
Si parla di velocità media perché il piede di biella P ha molto alterno e quindi velocità variabile nel tempo.

Come rappresentato in figura, indichiamo con $θ$ l'angolo percorso dalla manovella e con $ϕ$ l'angolo del piede di biella.
Nell'ipotesi che il sistema sia una macchina motrice in cui si sfrutta la pressione all'interno del cilindro per ottenere un momento sull'albero motore, sapendo che la pressione agente p vale:

in cui p è la pressione interna del cilindro espressa in pascal, A è l'area del pistone [m²].
Questa forza applicata nel piede di biella P è diretta secondo l'asse $\ov {OP}$ e si scompone secondo la direzione di biella e secondo la direzione perpendicolare ad $\ov {OP}$ ; la componente F₁ agente lungo la direzione della biella crea una rotazione intorno all'albero motore O, mentre la componente F₂ perpendicolare a $\ov {CO} $ e quindi allo spostamento del piede di biella C crea una forza resistente dovuta all'attrito tra pistone e cilindro.
La resistenza d'attrito vale:

ed è una forza che deve essere attenuata in quanto abbassa in rendimento nel manovellismo. la forza F₁ agente lungo la biella vale:

essa si trasmette lungo la biella al bottone di manovella B dove si può ritenere che sia applicata.
Questa forza deve essere ulteriormente decomposta nella direzione tangente alla traiettoria circolare del bottone di manovella B e nella direzione radiale $\ov {BO}$ .
La componente tangente in B alla traiettoria circolare del bottone crea il momento motore

l'altra componente radiale non ha effetti sul moto, ma si scarica sull'albero motore. Dai disegni si ottiene

E' evidente che variando la configurazione geometrica del manovellismo istante per istante, il momento motore varia perché cambia il valore di T, in particolare, il momento è nullo quando il piede di biella P si trova in corrispondenza ai due punti morti superiore ed inferiore essendo $θ=0$ e $ϕ=0$, mentre è massimo quando quando F₁ è tangente alla traiettoria circolare del bottone B ( colpo di frusta ) dato che in quell'istante F₁=T.

Cinematica

          

Dal punto di vista cinematico, possiamo assimilare il moto del manovellismo a quello di un asta rigida, i cui estremi descrivono traiettorie diverse; uno di essi, P, si sposta con moto rettilineo lungo la guida $\ov {AD}$, mentre l'altro, B, descrive una traiettoria circolare di centro C. Consideriamo la biella in una posizione generica individuata dall'angolo  $ϕ$   da essa formato con la direzione $\ov {AD}$ della guida, e determiniamo il centro istantaneo di rotazione O tracciando le normali alle due traiettorie. Se è nota la velocità periferica del punto B, si può risalire a quella del punto P con la relazione:

         (#)

questa formula presenta non poche difficoltà per essere risolta; si preferisce perciò modificarla in modo tale che la velocità di P sia funzione di segmenti più facilmente determinabili. A tale scopo, dal centro C della circonferenza si innalza la normale a $\ov {PC}$ fino a incontrare in M il prolungamento di $\ov {PB}$. Per la similitudine dei triangoli OPB e MCB, possiamo scrivere.

dato che il segmento $\ov {CB}$ coincide con il raggio r della circonferenza descritta dal punto B, è anche:

                per cui la relazione (#) diventa:

     (•)

la formula (•) è senz'altro più adatta all'uso pratico, in quanto sia r sia v_B si possono ritenere costanti al variare del tempo. La velocità di spostamento del punto P dipende essenzialmente dal valore che il segmento $\ov {CM}$ assume in corrispondenza alle diverse posizioni della biella. dalla (•) si rileva l'estrema variabilità di v_P, variabilità connessa al moto rettilineo alternato cui il punto P è soggetto. Poiché v_P si annulla quando P si trova nei due estremi (A e D) della guida (in tali posizioni è evidentemente $\ov {CM}$=0) potrebbe sembrare, a prima vista che P sia soggetto ad un moto armonico;

in realtà il moto del piede di biella P non è armonico, come si può subito rilevare: dal punto C tracciamo la normale a $\ov {PM}$ intersecandola nel punto N; con le notazioni della figura riportata possiamo scrivere:

     uguagliando i secondi membri delle due relazioni risulta:

Sostituendo quest'ultima nella (•) si ottiene:

che comunque non è un moto armonico.

Biella motrice

     

La biella è dunque l'organo meccanico che collega il bottone di manovella con il testacroce o con lo stantuffo. Si è visto che il piede di biella percorre un segmento rettilineo (corsa), mentre la testa B percorre il cerchio di manovella ed è interessata da una cospicua forza centrifuga. Questa forza diminuisce progressivamente nei punti intermedi del fusto di biella fino ad annullarsi nel piede di biella.

La forza centrifuga, può quindi essere rappresentata con un diagramma triangolare, con valore nullo in corrispondenza del piede di biella e con valore massimo in corrispondenza della testa. La forza centrifuga massima della biella può essere espressa come:

      con             si ha      

dove m è la massa della biella e v è la velocità periferica del bottone di biella B; di conseguenza si assume una forza centrifuga media:

che è applicata nel baricentro del diagramma triangolare illustrato, distante ${2/3}L$ da P e $L/3$ da B; dove L è la lunghezza della biella.

La biella, sollecitata in questo modo, può essere assimilata ad una trave appoggiata agli estremi su cui grava un carico distribuito linearmente q_x .

In tal caso risulterebbe per le reazioni vincolari:

Il momento flettente massimo si ottiene ponendo uguale a zero la derivata della precedente funzione

in questo punto si ha il massimo momento flettente: x=0,577·L.

Il massimo momento vale dunque

per noi è    

Il valore del momento flettente massimo è :

      [Nm]

per comodità si assume che tale momento si abbia ad una distanza pari circa a ${2/5}L$ dalla testa della biella, (ad una distanza x=0,577L dal piede).

A questa sollecitazione deve poi essere aggiunta quella a compressione. Deve risultare:

       [N/mm²]

dove $σ=R/12$  è il carico di sicurezza a sforzi dinamici alternati, mentre F è la forza esercitata dal fluido sul piede di biella ed S la superficie dello stantuffo.

Questa formula riguarda la verifica per le bielle veloci (n>300 g/m).
Per un primo calcolo di progetto si può ricorrere alla formula di Eulero per il carico di punta (estremi incernierati):

P=carico critico (N) ottenibile dal prodotto P=F·n_s con il grado di sicurezza n_s=20÷30.
E=modulo di elasticità (N/mm²)
J =momento quadratico assiale minimo della biella (mm⁴)
L=lunghezza della biella

Ottenuta la sezione media della biella si fa poi la verifica al M_fmax.
Per le   bielle lente   (pompe compressori) si usa invece la formula:

       [mm]

Con la forza F espressa in Newton e la lunghezza del fusto L espressa in mm; ottenendo così, un diametro medio in mm della biella.

Poi si può dimensionare la forcella del piede di biella con le seguenti formule empiriche:

Con la forza espressa in N, la pressione in N/mm² e le lunghezze in mm.

σ=50÷70 N/mm² per l'acciaio di qualità
σ=70÷90 N/mm² per l'acciaio Ni-Cr

Manovella di estremità

     

Se chiamiamo F la forza che sollecita il bottone di manovella, si pone

con p pressione unitaria massima esercitata dallo stantuffo. Il bottone di manovella si calcola come perno di estremità soggetto al momento flettente

usando (appunto) la formula dei perni di estremità:

nel caso del bottone di manovella si pone il rapporto caratteristico .

Per il carico di sicurezza σ si può usare:
σ=40 N/mm² per acciaio comune
σ=60 N/mm² per acciaio di qualità
σ=80 100 N/mm² per acciaio al Ni-Cr-Mn

L'albero di manovella viene invece calcolato con la formula dei perni intermedi, considerando l'albero soggetto al momento flettente F ·r:

Riassumendo le formule per il dimensionamento della manovella di estremità: