Equazioni a due incognite

        

Finora, sono state esposte le tecniche del calcolo letterale ed i concetti relativi alle equazioni lineari ad una sola incognita;
consideriamo invece l'equazione

si tratta di un'equazione di primo grado in due incognite, cioè, di un'equazione lineare in due incognite.

Una soluzione dell'equazione assegnata è una coppia di valori (x;y) che rende il primo membro uguale al secondo.

Per esempio la coppia ordinata (1;3) è una soluzione dell'equazione data; infatti, basta sostituire alla x il valore 1 e alla y il valore 3 per verificare che l'uguaglianza sia soddisfatta. Sarebbe improprio dire che 1 e 3 sono soluzioni dell'equazione data, infatti, questi numeri costituiscono la soluzione solo se considerati in coppia nell'ordine dato. Per questo si può anche scrivere

In generale, una soluzione di un'equazione in due incognite è sempre costituita da una coppia ordinata di numeri reali.

Allo stesso modo di quello che si è visto per l'equazione ad una incognita si può dire che un'equazione a due incognite è

● Determinata se l'insieme delle sue soluzioni è costituito da un numero finito di coppie ordinate di numeri reali.

ad es. x²+y²=0 è un'equazione determinata che risulta vera solo se x=0 e y=0.

● Indeterminata se l'insieme delle sue soluzioni è costituito da un numero infinito di coppie ordinate di numeri reali.

ad es. y=2x è un'equazione indeterminata, perchè qualsiasi coppia ordinata di valori dove la y sia il doppio di x la verifica (1,1) (2,4) (4,8)... ci sono infinite soluzioni, per questo motivo è indeterminata.

● Impossibile se non ci sono soluzioni (l'insieme delle sue soluzioni è vuoto).

ad es. x²+y²=-9 è un'equazione impossibile perchè qualsiasi coppia di numeri che va a sostituire x ed y che poi vengono elevati al quadrato e sommati tra loro non potrà mai produrre un numero negativo.

● Una identità se qualunque coppia ordinata di numeri reali è una sua soluzione.

ad es. (x²-y²)=x²+ y²-2xy che è un prodotto notevole dove il primo membro è sempre uguale al secondo; qualunque siano le coppie ordinate x,y assegnate il primo ed il secondo membro assumeranno lo stesso valore verificando l'uguaglianza.

Le equazioni di primo grado in due incognite sono dette lineari, perchè possono essere scritte nella forma

con a,b,c numeri reali, perchè questa espressione è riconducibile alla rappresentazione grafica di una linea retta. Questo significa che

● se una coppia ordinata di numeri reali è soluzione di una data equazione, questi numeri sono le coordinate di un punto che appartiene alla retta.
● viceversa, se un punto appartiene ad una retta, le sue coordinate sono una soluzione dell'equazione di quella retta.

Sistemi di equazioni

        

Come abbiamo già visto, attraverso le equazioni ad una incognita possiamo formalizzare e risolvere molti problemi. Tuttavia nei problemi in cui gli elementi non noti da determinare sono più di uno le equazioni in una sola incognita non forniscono sempre un modello algebrico adeguato.
Per rendersi conto di questo fatto basta analizzare qualche problema.

Il caffe di qualità A costa 12€/kg mentre quello di qualità B costa 8€/kg,
quali quantità dei due caffè bisogna miscelare per ottenere 1kg di miscela ad 11€/kg?

x=quantità di caffè di marca A in kg
y=quantità di caffè di marca B in kg

per ottenere 1kg di caffè al costo di 11€/kg dobbiamo sommare x kg di caffè di marca A al costo di 12€/kg ed aggiungerli ad y kg di caffè di marca B del costo di 8€/kg ottenendo 1 kg di miscela ad 11€/kg

presa singolarmente questa equazione a due incognite risulta essere indeterminata ossia fornisce infinite soluzioni; soltanto se essa viene abbinata a qualche informazione supplementare possiamo tentare di risolvere il problema. In questo caso, dal testo si deduce anche che deve essere

naturalmente anche questa equazione è indeterminata e quindi anch'essa presa singolarmente non permette di risolvere il problema; ma le cose cambiano se consideriamo contemporaneamente le due equazioni.

esse saranno rappresentate da due rette:
la retta l₁ → 12x+8y=11
la retta l₂ → x+y=1
queste due rette si intersecano nel punto P di coordinate `x=3/4` ed `y=1/4` dunque dovremo usare `3/4` di kg=750g di caffè di qualità A e `1/4` di kg=250g di caffè di qualità B.
Pertanto la soluzione del nostro problema si indica

     oppure     

come si può verificare, sostituendo questi valori nelle due equazioni, esse risultano contemporaneamente verificate.

Per definizione, un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente.

Per definizione, si chiama grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.

Queste definizioni sono indipendenti dal numero di incognite presenti nel sistema.

I sistemi di primo grado sono costituiti da equazioni di primo grado e vengono chiamati anche sistemi lineari perchè le singole equazioni sono (geometricamente) delle linee rette.

In questa pagina stiamo studiando i sistemi lineari di due equazioni in due incognite; i sistemi di questo tipo sono rappresentati in forma canonica quando sono scritti nella forma:

con a₁ b₁ a₂ b₂ c₁ c₂ numeri reali.
Nel caso particolare in cui c₁=c₂=0 il sistema viene detto sistema lineare omogeneo.

Soluzione di un sistema in due incognite

      

Una coppia ordinata di numeri reali è soluzione di un sistema di equazioni in due incognite se, sostituendo quei numeri alle corrispondenti variabili tutte le equazioni del sistema diventano uguaglianze vere.

Risolvere un sistema vuol dire determinare l'insieme delle sue soluzioni. Un sistema si dice:

● Impossibile se non ha soluzioni.
● Determinato se ha un numero finito di soluzioni.
● Indeterminato se ha infinite soluzioni.

Considerando che ad ogni equazione di primo grado corrisponde una retta, i seguenti disegni danno la rappresentazione grafica di queste tre eventualità

● se le due rette sono parallele (l₁ // l₂) esse non hanno nessun punto in comune. Non esiste di conseguenza una soluzione comune e abbiamo un sistema impossibile.

● se le due rette sono incidenti, esse si devono intersecare nel punto P(x_o,y_o). Le coordinate x_o ed y_o di tale punto soddisfano entrambe le soluzioni del sistema e ne costituiscono l'unica soluzione. Il sistema è in questo caso determinato.

● se le due rette coincidono (l₁ ≡ l₂) le due equazioni del sistema sono rappresentate da un'unica retta. Ogni coppia ordinata formata dalle coordinate di un punto appartenente a tale retta è soluzione di entrambe le equazioni e quindi dell'intero sistema. Questa retta è costituita da infiniti punti e quindi sono infinite le soluzioni. Il sistema si dice in tal caso indeterminato.

Per verificare se una coppia di numeri è veramente soluzione di un sistema, bisogna sostituire i numeri trovati al posto delle corrispondenti incognite; solo se le due equazioni risultano vere la coppia di numeri è la soluzione del sistema.

Un sistema lineare omogeneo ammette sempre la soluzione nulla; cioè ammette sempre la soluzione x=0 ∧ y=0; quindi un sistema omogeneo non può essere impossibile, e se è determinato la soluzione nulla è la sua unica soluzione.

Se una delle equazioni del sistema è impossibile, l'intero sistema è impossibile.

Criterio dei rapporti

         

Dalla forma normale di un sistema è sempre possibile riconoscere se un sistema è determinato, indeterminato o impossibile.Infatti

dove entrambe le equazioni sono poste sotto la forma canonica di una retta (y=mx+q). Se risulta

abbiamo a che fare con due rette che hanno lo stesso coefficiente angolare e la stessa quota (q) quindi coincidono: il sistema è indeterminato. Si riconosce in questo caso la proporzionalità tra i coefficienti delle incognite e dei termini noti.
Se risulta

le due rette sono parallele perchè hanno lo stesso coefficiente angolare ma l'ordinata all'origine (q) è diversa; in questo caso il sistema è impossibile. Si riconosce in questo caso la proporzionalità solo tra i coefficienti delle incognite.
Se risulta

le due rette hanno coefficienti angolari diversi e quindi sono necessariamente incidenti. I sistema risulta in questo caso determinato. Si riconosce che in questo caso non vi è proporzionalità fra i coefficienti delle incognite. Riassumendo:

lo schema riassuntivo sopra esposto che permette stabilire quando un sistema lineare di due equazioni in due incognite è determinato, indeterminato o impossibile viene chiamato criterio dei rapporti.

Metodo di sostituzione

         

Per risolvere un sistema lineare di due equazioni in due incognite col metodo di sostituzione si può usare il seguente principio di sostituzione:

Risolvendo un'equazione di un sistema rispetto ad una incognita e sostituendo al posto di tale incognita, nelle restanti equazioni, l'espressione così trovata si ottiene un sistema equivalente a quello assegnato inizialmente. questo principio può essere implementato concretamente attraverso la seguente procedura:

A Si porta il sistema nella sua forma normale.
B Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle due incognite ad es la y; questo significa trasformare l'equazione nella forma y=P(x) dove P(x) è un'espressione dove appare la x ma non la y.
C Si sostituisce, al posto di y, nell'altra equazione, l'espressione P(x) trovata; in questo modo si ottiene un'unica equazione nell'incognita x.
D Si risolve l'equazione così ottenuta, determinando il valore di x.
E Si sostituisce nell'equazione y=P(x) il valore di x così trovato al punto (D) determinando in questo modo anche il valore di y.

   sistema in forma normale : punto A

   esplicito la y nella seconda equazione : punto B

   sostituisco la y nella prima equazione : punto C

risolvo la prima equazione rispetto la x : punto D

ora eseguiamo il passaggio E sostituendo nella prima equazione il valore di x così trovato

la soluzione del sistema è dunque la coppia ordinata (1,3).

Questo principio di sostituzione permette di trasformare il sistema assegnato in altri sistemi, tutti equivalenti tra loro ed è valido per un sistema con un numero qualsiasi di equazione e di incognite.

Metodo di confronto

         

Il metodo di confronto per la soluzione di un sistema di due equazioni in due incognite è una variante del metodo di sostituzione e può essere attuato applicando la seguente procedura:

A Si riduce il sistema in forma normale
B Si ricava l'incognita y in funzione di x da entrambe le equazioni del sistema
C Si eguagliano entrambe le espressioni di y così ottenute determinando in questo modo il valore di x.
D Si ricava il valore di y sostituendo il valore di x così trovato in una delle due equazioni costituenti il sistema di partenza .

    sistema in forma normale : punto A

esplicito la y in entrambe le equazioni del sistema : punto B

uguaglio entrambe le espressioni della y determinando x : punto C

sostituisco il valore di x così trovato, ad esempio nella seconda equazione del sistema; e questa è l'esecuzione del punto D

la soluzione del sistema è la coppia ordinata (-4,9).

Metodo di riduzione

         

Il metodo di riduzione (o metodo di eliminazione) è basato sul principio di riduzione.

Dato un sistema di due equazioni, se ad una di esse si sostituisce l'equazione che otteniamo sommando membro a membro le due equazioni del sistema, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Per applicare questo metodo si può seguire la seguente procedura:

A Si riduce il sistema in forma normale
B Se i coefficienti della y sono uguali ed opposti si passa al punto C. altrimenti si moltiplica una delle equazioni per opportuni valori in modo da rendere i coefficienti della y uguali ed opposti.
C Se i coefficienti dell'incognita y nelle due equazioni sono opposti, si sommano membro a membro le due equazioni, se invece sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni
D Si ottiene un'unica equazione nella variabile x che risolta determina il valore della x.
E Si ritorna al sistema scritto in forma normale e da una delle due equazioni, sostituendo il valore di x trovato si ottiene la y.

     sistema in forma normale : punto A

moltiplichiamo entrambi i membri della prima equazione per 2 otteniamo i coefficienti della y uguali ed opposti : punto B

sommiamo membro a membro le due equazioni : punti C e D

sostituiamo il valore di x così trovato (ad es.) nella seconda equazione del sistema : punto E andando a determinare il valore di y.

la soluzione del sistema è dunque la coppia ordinata  .

Regola di Cramer

         

La regola di Cramer permette di risolvere in modo rapido un sistema lineare di due equazioni in due incognite scritto nella forma canonica

Si calcola il determinante del sistema

se D ≠ 0 il sistema è determinato.

Il determinante dell'incognita x si calcola sostituendo al determinante del sistema i termini noti c₁ e c₂ al posto dei coefficienti a₁ e a₂ dell'incognita x.

in modo analogo, sempre a partire dal determinante del sistema, sostituendo i termini noti al posto dei coefficienti y si ha

la soluzione del sistema sarà

Riassumendo, il teorema di Cramer afferma che dato un sistema nella forma

in cui uno almeno dei coefficienti a₁ b₁ a₂ b₂ è diverso da zero valgono i seguenti fatti:

● Se D ≠ 0 il sistema e determinato e ha come soluzione

● Se D=0 con D_x ≠ o D_y ≠ 0 il sistema è impossibile.
● Se D=D_x=D_y=0 il sistema è indeterminato.