Sistemi lineari

      

Un sistema lineare di n equazioni ed m incognite è rappresentato nella forma seguente

Se tutti i termini noti sono nulli il sistema è detto lineare omogeneo.

Una soluzione del sistema assegnato è un insieme di numeri reali (m-pla) $(x↖{-}_1,x↖{-}_2,..., x↖{-}_m)$ che sostituiti alle m incognite soddisfano le n equazioni del sistema.

Risolvere un sistema significa determinare tutte le soluzioni.
Un sistema lineare con una soluzione è chiamato determinato.
Un sistema lineare con infinite soluzioni viene definito indeterminato.
Un sistema lineare con nessuna soluzione viene definito impossibile.

e il vettore colonna m×1 delle incognite                       

assieme al vettore colonna n×1 dei termini noti           

Si dimostra che vale la relazione                    

                    cioè      

Nel caso più frequente si ha a che fare con sistemi di n equazioni in n incognite, quindi con una matrice A dei coefficienti quadrata di ordine n mentre già sappiamo come calcolare l'inverso di una matrice quadrata:

Da questa si desume che le matrici quadrate invertibili sono tutte e solo quelle con determinante diverso da zero.

ottenendo la soluzione del sistema:                     

Si deduce che se la matrice A dei coefficienti è invertibile (cioè ha il determinante diverso da zero) il sistema ammette soluzione.

Teorema di Cramer

      

Si applica a sistemi di n equazioni in n incognite e una realizzazione informatica di questo teorema era già stata tentata in precedenza .

se il determinante della matrice quadrata di ordine n dei coefficienti det(A)=Δ≠0 (diverso da zero) allora, il sistema è determinato e l'unica soluzione si ottiene dividendo per Δ ciascuno degli n determinanti ottenuti da Δ sostituendo rispettivamente alla prima, seconda n-esima colonna il vettore-colonna dei termini noti.

La soluzione del sistema assegnato vale

Teorema di Rouché-Capelli

      

Consideriamo questi due sistemi

possiamo dire che rappresentano lo stesso sistema, dato che un sistema non dipende da come chiamiamo le incognite ma solo dai coefficienti di queste e dai termini noti. Questi dati caratteristici possono essere descritti da queste due matrici

                                 matrice incompleta del sistema

                        matrice completa del sistema

Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema lineare di n equazioni in m incognite sia possibile è che la matrice incompleta e quella completa abbiano lo stesso rango.

Ipotizziamo che il sistema sia possibile e che vi sia un rango comune

q≤n
q≤m

Scegliamo fra le n equazioni che compongono il sistema q equazioni e teniamo in ciascuna equazione al primo membro le q incognite i cui coefficienti hanno contribuito alla formazione del minore non nullo , mentre le altre (m-q) incognite si trasportano al secondo membro considerandole come quantità note (parametri) si ottiene così un sistema di q equazioni in q incognite con determinante diverso da zero. Si applica ad esso la regola di Cramer.
Risolto il sistema si ottengono le q incognite in funzione delle (m-q) incognite che erano state considerate, durante la risoluzione del sistema quantità note. Poiché a ciascuna delle (m-p) incognite possiamo attribuire infiniti valori si dice che il sistema ammette ∞ ^m-p soluzioni; il numero m-p restituisce il grado di indeterminazione del sistema.

Indicando con
Δ:determinante della matrice incompleta
q:rango della matrice incompleta
p:rango della matrice completa.
In base al teorema di Capelli si possono stabilire i seguenti casi.

Sistema lineare di n equazioni in n incognite
Se Δ ≠0 il sistema è determinato e la soluzione si trova con la regola di Cramer
Se Δ=0 si applica il teorema di Capelli e si possono presentare due casi
q=p il sistema è indeterminato e ha n-p soluzioni
q≠p il sistema è impossibile.

Sistema lineare di n equazioni in m incognite
q≠p il sistema è impossibile
q=p il sistema è possibile e si possono presentare due casi
se q=m il sistema ha una sola soluzione
se q < m il sistema ha ∞ ^m-p soluzioni.

Sistema omogeneo di n equazioni in n incognite
Se Δ ≠0 il sistema ammette solo la soluzione nulla x_i=0 (i=1,2,..,n)
Se Δ=0 il sistema ha infinite soluzioni compresa quella nulla.

Sistema omogeneo di n equazioni in m incognite
Se q=m il sistema ammette solo la soluzione nulla x_i=0 (i=1,2,..,n)
Se q < m il sistema ha ∞ ^m-p soluzioni compresa la soluzione nulla.