Serie numeriche
Una serie numerica è una somma formale degli infiniti termini di una successione di numeri:
$$\∑↙{1}↖{+∞}\;a_n=a_1_+a_2+...+a_n+..$$
Condizione necessaria ma non sufficiente per la sua convergenza è:
$$\lim↙{n→+∞}\;a_n=0$$ cioè:
se $$\lim↙{n→+∞}\;a_n≠0$$
la serie non converge
se $$\lim↙{n→+∞}\;a_n=0$$ la
serie può convergere o non convergere
Indicando con sn la somma parziale n-esima, se la serie
converge, risulta:
$$\lim↙{n→+∞}\;s_n=s$$
Se la serie converge tale limite è finito e si chiama somma della serie.
Serie geometrica
E' basata su una progressione geometrica di ragione q: a, aq, aq2,..,aqn..
$$\∑↙{1}↖{+∞}\;aq^n=a+aq+aq^2+...+aq^n+..$$
Si sa che la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q è:
$$s_n=a⋅({1-q^n}/{1-q})$$
La serie geometrica è:
|
convergente per |
$|a|>1$ |
|
divergente per |
$|a|≤1$ |
|
indeterminata per |
$a = - 1$ |
Serie armonica generalizzata
La serie armonica semplice diverge, infatti:
dato che
la somma della serie data è dunque:
cioè
è la serie dei numeri naturali, che diverge, dato che: $$\lim↙{n→+∞}\;n=∞$$
Criterio del confronto
Siano 
e 
due serie a termini positivi. Supponiamo che si abbia
$a_n≤b_n$
Se bn converge an converge.
Se an diverge bn diverge .
È evidente che se bn diverge, non possiamo dire niente su an: essa può convergere o divergere.
Criterio del rapporto
Se 
è
una serie a termini positivi, consideriamo il limite:
Se l=1 non si può dire nulla sulla convergenza della serie data.
Criterio della radice
Se è
una serie a termini positivi, consideriamo il limite:
Se l=1 non si può dire nulla sulla convergenza della serie data.