edutecnica

Serie numeriche

           

Una serie numerica è una somma formale degli infiniti termini di una successione di numeri:

$$\∑↙{1}↖{+∞}\;a_n=a_1_+a_2+...+a_n+..$$

Condizione necessaria ma non sufficiente per la sua convergenza è:

$$\lim↙{n→+∞}\;a_n=0$$                               cioè:

se    $$\lim↙{n→+∞}\;a_n≠0$$     la serie non converge

se   $$\lim↙{n→+∞}\;a_n=0$$       la serie può convergere o non convergere

Indicando con sn la somma parziale n-esima, se la serie converge, risulta:

$$\lim↙{n→+∞}\;s_n=s$$

Se la serie converge tale limite è finito e si chiama somma della serie.


Serie geometrica

           

E' basata su una progressione geometrica di ragione q: a, aq, aq2,..,aqn..

$$\∑↙{1}↖{+∞}\;aq^n=a+aq+aq^2+...+aq^n+..$$

Si sa che la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione q è:

$$s_n=a⋅({1-q^n}/{1-q})$$

La serie geometrica è:

convergente per

$|a|>1$

divergente per

$|a|≤1$

indeterminata per

  $a = - 1$


Serie armonica generalizzata

           

La serie armonica semplice diverge, infatti:

dato che

la somma della serie data è dunque:

                      cioè

                                 

 è la serie dei numeri naturali, che diverge, dato che:      $$\lim↙{n→+∞}\;n=∞$$


Criterio del confronto

           

Siano      e      due serie a termini positivi. Supponiamo che si abbia $a_n≤b_n$

Se bn converge an converge.

Se an diverge bn diverge .

È evidente che se bn diverge, non possiamo dire niente su an: essa può convergere o divergere.


Criterio del rapporto

           

Se     è una serie a termini positivi, consideriamo il limite:

Se l=1 non si può dire nulla sulla convergenza della serie data.


Criterio della radice

           

Se     è una serie a termini positivi, consideriamo il limite:

Se l=1 non si può dire nulla sulla convergenza della serie data.