Passaggio al limite

Studiando le coniche (retta, parabola, iperbole etc..) abbiamo visto come queste funzioni matematiche abbiano anche un significato geometrico e possano essere rappresentate graficamente su un piano cartesiano costituito da una coppia cartesiana di assi coordinati (x, y).
Per studiare una generica funzione potremmo usare un metodo pratico, come quello di calcolare il valore della y per valori progressivi della x e poi di riportare le coppie di coordinate ottenute sul piano cartesiano congiungendole con una spezzata poligonale che dovrebbe costituire un grafico approssimato della nostra funzione.

Ma questo metodo oltre ad essere laborioso, si rivela alla lunga insoddisfacente perchè per quanto piccolo possa essere scelto l’intervallo tra due valori della x, esiste sempre la possibilità che in quell’intervallo la funzione abbia un comportamento inaspettato che noi mancheremmo di rilevare.

Occorre dunque cambiare approccio allo studio del comportamento di una funzione, in modo particolare in prossimità dei punti del suo dominio di esistenza in cui essa risulta essere indefinita. Il passaggio al limite è un'operazione matematica che ci permette di analizzare il comportamento di una funzione nell'intorno di un opportuno punto o nell'intorno di infinito (∞).

Intorno

Si chiama intorno di un punto x_o un qualunque intervallo aperto che contenga il punto x_o .

Si possono avere le seguenti eventualità

intorno di x_o
intorno circolare di x_o di raggio δ

intorno destro di x_o

intorno sinistro di x_o

Si chiama intorno di +∞ un qualunque intervallo aperto del tipo $(a,\, +∞)$;

in modo analogo, si chiama intorno di $-∞$ un qualunque intervallo aperto del tipo $(-∞,\, b)$

per studiare i limiti è importante anche tener conto della definizione di punto di accumulazione. La definizione di punto di accumulazione è la seguente:

Un punto P, appartenente o no all'insieme A, si dice punto di accumulazione per A, se in ogni suo intorno esistono elementi di A.

Da cui deriva la definizione di punto isolato.

Un punto di A, che non sia punto di accumulazione per A si dice punto isolato.

Fatte queste premesse vediamo come si può introdurre intuitivamente la nozione di limite.

● esempio : prendiamo la funzione

che ha come dominio di esistenza D≡R-{1}; (cioè x ≠ 1)cerchiamo di capire il comportamento della funzione quando si scelgono valori di x prossimi (molti vicini) ad 1 che poi è il punto in cui la funzione risulta indefinita.

dalla tabella del grafico si intuisce che se x tende ad 1 per difetto (da sinistra) i valori della funzione tendono a 3 (per difetto) mentre se x tende ad 1 per eccesso (da destra i valori della funzione tendono a 3 per eccesso. In simboli si scrive:

e si dice che il "limite per x che tende ad 1 di f(x) è 3" le approssimazioni per difetto e per eccesso si possono invece scrivere come

Facciamo notare che nel punto x=1 la funzione non esiste (perchè si ha una divisione per 0) come viene confermato dalla computazione della precedente funzione eseguita con l'excel

Accertato il fatto che più x si avvicina ad 1 tanto più f(x) si avvicina a 3, scopriremo che se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 1 sempre più piccolo, allora f(x) si trova sempre più vicino a 3, cioè, cioè si trova in un intorno di 3 sempre più piccolo

Possiamo allora dire che, se consideriamo un qualunque intorno circolare di 3 di ampiezza ε che indichiamo E di 3 allora esiste sempre un intorno di 1 i cui punti di x (con x≠1) hanno i valori di f(x) contenuti in E.

Infatti i punti che soddisfano la disequazione

sono, sviluppando i calcoli

poichè la soluzione è un intorno di 1 il limite è verificato.

Definizione di limite

Possiamo ora, dare la definizione di limite di una generica funzione y=f(x) rispetto al valore x_o che sia un punto di accumulazione per il dominio D della funzione anche se x_o può appartenere a D oppure no.

Si dice che la funzione y=f(x), per x che tende ad x_o , ammette il limite l e si scrive
$\lim↙{x→x_o}f(x)=l$
se, comunque si scelga un numero ε>0, a questo resta coordinato un numero δ>0 in modo tale che per ogni x dell'intorno di x_o |x-x_o|<δ eccettuato al più il punto x_o stesso f(x) sia compresa nell'intervallo (l-ε,l+ε) cioè si abbia |f(x)-l|<ε .

Simbolicamente si scrive:

La definizione precedente può essere interpretata facendo riferimento ad una generica funzione y=f(x) rappresentabile da una curva come quella sotto disegnata

Scegliere un ε arbitrario e positivo significa fissare sull'asse y i punti l+ε ed l-ε per i quali tracciamo le parallele all'asse x sino ad incontrare la curva.
Se la curva viene incontrata nei punti di ascissa x_o-δ₁ ed x_o+δ₁, detto δ il minore tra i due numeri δ₁ e δ₂ otteniamo l'intorno circolare 2δ di x_o.

● esempio

bisogna provare che scelto un ε>0 esiste un'intorno completo di 2 per ogni x del quale (escluso al più il 2) si ha |(3x-1)-5|<ε.

cioè:

e si riconosce che se si sceglie

ogni x che soddisfa la condizione |x-2|<δ soddisfa anche la |(3x-1)-5|<ε.

● esempio

Secondo la definizione data, in corrispondenza di un ε>0 prefissato, si dovrà determinare un numero δ, tale che per ogni x (diverso da 2) soddisfacente la condizione

si abbia

risolviamo quest'ultima rispetto ad x:

cioè

farebbe

da cui si riconosce che se si sceglie δ il più piccolo dei due numeri $${2ε}/{2+ε}$$ e $${2ε}/{2-ε}$$

per ogni x che soddisfa la $2-δ<x<2+δ$ viene soddisfatta la $$1-ε<{3x-4}/x<1+ε$$

può accadere che la y=f(x) non sia definita per x>x_o in tal caso deve essere |f(x)-l|<ε per ogni x≠x_o ed appartenente all'intorno sinistro (x_o-δ, x_o) cioè sarà x_o-x<δ . Si potrà dire, allora, che il numero l è il limite sinistro della funzione per x tendente ad x_o e si scrive

Se, invece, la funzione non è definita per x<x_o , sarà |f(x)-l|<ε per ogni x≠x_o e appartenente ad un intorno destro (x_o, x_o+δ) di x, e in tal caso il limite l della funzione viene chiamato limite destro, per x tendente ad x_o dalla destra e si scrive

● esempio

La funzione sotto il segno di radicale, ha dominio $$x≥2/3$$ ; non ha senso, dunque, indagare su punti che stanno a sinistra di $$x=2/3$$. Scelto un numero ε positivo arbitrario, si dovrà determinare un intorno destro di $$2/3$$, tale che per ogni x soddisfacente alla condizione

a si abbia b

essendo $√{3x-2}$ un radicale aritmetico la disuguaglianza a sinistra è sempre verificata; l'altra

è verificata per

se scegliamo ogni x che soddisfa la a soddisfa anche la b .

Limite infinito per x che tende a un valore finito

Si dice che la funzione y=f(x), per x che tende ad x_o tende a +∞ e si scrive

se comunque si scelga un numero H>0, a questo resta coordinato un numero δ>0, tele che per ogni x dell'intorno x_o :
|x-x_o|<δ eccettuato x_o stesso si abbia f(x)>H.

In termini simbolici

In modo del tutto analogo si riesce a definire il limite a -∞ di una funzione per x che tende ad un valore finito

Si dice che la funzione f(x), per x che tende ad x_o tende a -∞ scrivendo

se, comunque si scelga un numero H>0, a questo resta coordinato un numero δ tale che per ogni x dell'intorno di x_o:
|x-x_o|<δ eccettuato x_o stesso si abbia f(x)<-H.

● esempio

infatti qualunque sia H>0 si ha

risolvendo

che costituisce un intorno di 1

Limite finito per x che tende ad infinito

Si dice che la funzione y=f(x) tende al limite l per x che tende a +∞ scrivendo

se comunque si scelga un numero ε>0 a questo resta coordinato un numero x_o tale che per ogni x>x_o si abbia |f(x)-l|<ε.

Del tutto simile è la definizione per x che tende a -∞

● esempio

In base alla definizione dobbiamo verificare se la disequazione ha soluzioni e se queste costituiscono un intorno di +∞.
La disequazione equivale a

come si vede dal disegno la disequazione è soddisfatta perchè scegliendo un valore di x maggiore di $$x_o=1/ε$$, la y risulta compresa nell'intervallo (1, 1+ε) .

Limite infinito per x che tende a infinito

Si dice che la funzione y=f(x) per x che tende a +∞ tende a +∞ scrivendo

se comunque si scelga un numero H>0, a questo resta coordinato un numero x_o tale che per ogni x>x_o si abbia f(x)>H .

Del tutto simili sono le definizioni per le altre eventuali scritture

● esempio

dobbiamo verificare se la disequazione

con H>0 arbitrario, ha soluzioni, e se queste formano un intorno di +∞

quindi posto per ogni x>x_o la disequazione è soddisfatta e il limite è verificato.
Essa è soddisfatta anche per x<-x_o; questo indica che se x tende a -∞ la funzione tende a +∞.

Alla nozione di limite di una funzione matematica sono legati alcuni importanti teoremi.

Teorema dell'unicità del limite

Se per x tendente ad x_o, la funzione y=f(x) ha per limite il numero reale l allora tale limite è unico.
$\lim↙{x→x_o}f(x)=l$

La dimostrazione è condotta per assurdo, supponiamo infatti che sia $\lim↙{x→x_o}f(x)=l_1$ e $\lim↙{x→x_o}f(x)=l_2$ con $l_1≠l_2$ .

Se $l_1>l_2$ scegliamo arbitrariamente un valore $$ε={l_1-l_2}/2$$.
Per definizione di limite è possibile determinare un intorno di H₁ di x_o tale che per ogni x di tale intorno si abbia

e un intorno H₂ di x_o tale che per ogni x di tale intorno si abbia

Nella parte comune dei due intorni H₁ ed H₂ dovranno valere contemporaneamente la 1 e la 2 cioè le relazioni

ma ciò è assurdo. Quindi l₁ non può essere diverso da l₂. Il teorema rimane valido anche se il limite è infinito .

Teorema della permanenza del segno

Se è $\lim↙{x→x_o}f(x)=l$ con $l≠0$, allora esistono sempre intorni di x_o (escluso al più x_o)in cui la f(x) mantiene il segno del limite.

E' possibile dimostrare questo teorema supponendo che sia l>0. Data l'arbitrarietà nella scelta di ε, possiamo scegliere ε in modo che sia l-ε>0. Per definizione di limite resta determinato un intorno di x_o , tale che per ogni x di tale intorno, escluso al più x_o , si abbia

Questa relazione, essendo l-ε>0, dice che f(x) nell'intorno considerato è positiva.
Se l<0, basta scegliere ε>0, in modo l+ε sia ancora negativo. Viene allora individuato un intorno di x_o , tale che per ogni x di tale intorno, escluso al più x_o si abbia:

Questa relazione, essendo l+ε<0 dice che f(x) nell'intorno considerato è negativa,

Teorema del confronto

Se le tre funzioni $y=f(x)$, $y=p(x)$ ed $y=q(x)$ sono tali che in un intorno di x_o (eccettuato al più x_o stesso) è sempre
$p(x)≤f(x)≤q(x)$
e se è
$\lim↙{x→x_o}p(x)=\lim↙{x→x_o}q(x)=l$ allora è anche $\lim↙{x→x_o}f(x)=l$

Infatti, per definizione di limite, fissato ε>0 viene determinato un intorno H₁ di x_{o ,}tale che per ogni x di tale intorno, escluso al più x_o si abbia

Per lo stesso valore di ε esiste un intorno H₂ di x_o , tale che per ogni x di tale intorno (escluso al più x_o) si abbia

Nella parte comune dei due intorni H₁ ed H₂ le due limitazioni valgono contemporaneamente. Quindi si ha

Si conclude che per tutti gli x dell'intorno stesso (eccettuato al più x_o) si ha

che equivale a dire $\lim↙{x→x_o}f(x)=l$

Il teorema rimane valido anche se il limite è infinito.

Funzioni continue

Abbiamo visto che nel caso del limite per x che tende ad x_o di una funzione, non è necessario che x_o appartenga al dominio della funzione, ma ciò che accade nel punto x_o , se esso appartiene al dominio D è del tutto ininfluente, quello che conta è come si comporta la funzione "vicino" a x_o e a quale valore si avvicina, non "quanto vale" in x_o.

E' la nozione di continuità che pone in relazione $\lim↙{x→x_o}f(x)$ con f(x_o); quindi, per parlare di questa proprietà, non solo x_o deve essere punto di accumulazione per l'insieme D di definizione di f(x), ma x_o deve anche appartenere al dominio D.
La definizione formale di continuità di una funzione è la seguente.

Una funzione y=f(x) definita nel dominio D si dice continua nel punto x_o se
$\lim↙{x→x_o}f(x)=f(x_o)$

in via preliminare, devono, comunque essere verificate le seguenti tre condizioni
1 la funzione deve essere definita in x_o
2 deve esistere il limite per x → x_o
3 tale limite deve essere uguale ad f(x_o)

Quando anche una sola delle tre condizioni suddette non è soddisfatta si dice che la funzione f(x) è discontinua in x_o.

E' possibile affermare la continuità della funzione y=f(x) nel punto x_o anche se esistono i suoi limiti destro e sinistro per
x → x_o ed essi valgono x_o.

Inoltre se vale solo la relazione

$\lim↙{x→x^{+}_o}f(x)=f(x_o)$ oppure solo la relazione $\lim↙{x→x^{-}_o}f(x)=f(x_o)$

si parla rispettivamente di continuità destra oppure sinistra in x_o.

Oltre alla definizione di continuità puntuale (in un punto) è possibile dare anche una definizione di continuità in un intervallo (chiuso).

Si dice che una funzione y=f(x) è continua nell'intervallo [a, b] se è continua nei punti interni dell'intervallo e continua alla destra dell'estremo a e a sinistra di b.

Tramite vari esempi è possibile riconoscere che esistono tre diversi tipi di discontinuità.

a Discontinuità di prima specie

Nel punto x_o la funzione f(x) presenta una discontinuità di prima specie quando in tale punto esistono finiti i due limiti destro e sinistro, ma sono tra loro diversi cioè quando

con l₁ ≠ l₂ . La differenza |l₁-l₂| è chiamato salto della funzione in x_o.

Ad esempio la funzione che è definita ∀x ≠ 0.

Non esistendo f(0) la funzione non è continua in x=0 ed essendo

il punto x=0 è una discontinuità di prima specie.

b Discontinuità di seconda specie

Nel punto x_o la funzione f(x) presenta una discontinuità di seconda specie quando in quel punto almeno uno dei due limiti sinistro o destro non esiste o se esiste è infinito.

Ad esempio la funzione $$y=1/x$$ ha una discontinuità di seconda specie nel punto x=0, perchè

c Discontinuità di terza specie (o eliminabile)

La funzione y=f(x) presenta in x_o una discontinuità di terza specie quando esiste finito il limite

$\lim↙{x→x_o}f(x)$

ma la funzione f(x) non è definita in x_o oppure lo è ma risulta $\lim↙{x→x_o}f(x)≠f(x_o)$

Ad esempio consideriamo la prima funzione che abbiamo analizzato in questa pagina

il dominio è D ≡ R-{ 1 } la funzione è discontinua in x_o=1 perchè f(1) non esiste ma

Per la definizione di limite, possiamo dire che, scelto un intorno completo di x_o=1 sempre più ristretto, la funzione assume valori sempre più vicini a 3 e quindi possiamo dire che la funzione è quasi continua perchè rimane escluso solo il punto x_o=1.

Il punto x=1 viene anche detto di discontinuità eliminabile perchè la funzione può essere modificata (ridefinita) nel punto 1 in modo da renderla continua facendo rimanere invariato il suo dominio naturale:

Proprietà delle funzioni continue

Le funzioni continue sono caratterizzate da alcune importanti proprietà che bisogna ricordare.

Teorema della funzione composta

Se f(x) e g(x) sono due funzioni continue, tali che esista, per x appartenente ad un intervallo A, la funzione composta F(x)=g[f(x)] allora la funzione F(x) è pure continua. Ad esempio sono continue ∀x reale le funzioni :

Teorema della funzione inversa

Se una funzione è continua in un intervallo A e in quest'intervallo ammette la funzione inversa, allora anche la funzione inversa è continua. Sono ad esempio continue le inverse delle funzioni circolari:

Teorema di Weierstrass

Se una funzione y=f(x) è continua in un intervallo chiuso [a, b], allora allora essa assume, in tale intervallo, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

Teorema dei valori intermedi

Se y=f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] all'ora essa assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il massimo ed il minimo. riferendoci al seguente disegno, il teorema equivale a dire che la retta y=k con f(x_m) < k < f(x_M) incontra il grafico di f(x) almeno una volta.

Teorema degli zeri

Se una funzione, continua in un intervallo chiuso [a, b] assume agli estremi a e b valori di segno opposto, essa si annulla almeno in un punto dell'intervallo.

una funzione discontinua nel punto x_o di un determinato intervallo [a, b] può non rispettare il precedente teorema: come si vede dal seguente disegno in nessun punto dell'intervallo [a, b] la funzione si annulla.