Algebra dei limiti

Esistono alcune regole relative alle operazioni aritmetiche che possono essere eseguite sui limiti; supponendo che i limiti di cui ora parleremo esistano e siano finiti valgono i seguenti teoremi:

Date le funzioni y=f(x) e y=g(x) se

ed allora si ha:

1 Il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti

2 La differenza di due funzioni ha per limite la differenza dei limiti

Più in generale, il limite della somma algebrica di quante si vogliano funzioni è uguale alla somma algebrica dei limiti.

3 Il limite del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto della costante per il limite della funzione

in base a questo teorema si conclude che se f(x) e g(x) sono due funzioni che per x→x_o ammettono come limiti rispettivamente l₁ ed l₂ e se k ed h sono due costanti, allora si ha

cioè, il limite di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare dei limiti. Per questo motivo si dice che il limite è un operatore lineare.

4 Il limite del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti delle due funzioni.

Più in generale si può affermare che il limite del prodotto di più funzioni è uguale al prodotto del limite delle singole funzioni.
In particolare, se uno dei fattori tende a zero e gli altri ad un limite finito, il prodotto tende a zero. Cioè se

allora si ha

Se, invece, uno dei fattori tende ad infinito e l'altro ad un limite finito diverso da zero, il prodotto tende all'infinito e per il segno vale la solita regola dei segni

per il momento non possiamo dire niente quando uno dei fattori tende all'infinito e l'altro tende a zero, generando la forma di indecisione 0·∞.

Una conseguenza di questo teorema è il seguente corollario:

Il limite della potenza con esponente intero n positivo di una funzione che tende ad un limite finito à la potenza n-esima del limite:

5 Se per x→x_o ,f(x) tende al limite finito l≠0 la funzione tende sempre per x→x_o al limite . Quindi se

in particolare si ha, se

6 Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti delle due funzioni.

Forme indeterminate

Le regole di calcolo elencate in precedenza sulle operazioni di somma algebrica, prodotto e divisione tra limiti rimangono valide per x che tende sia a valori finiti che infiniti; cioè per

Somma di funzioni
Considerando sempre il valore del limite l un numero reale finito (anche zero)

come si vede l'ultimo caso porta ad una forma di indecisione del tipo +∞-∞.

Prodotto di funzioni
Con l numero finito e diverso da zero.

anche in questo caso è presente una forma di indecisione 0·∞.

Quoziente di funzioni

vengono messe in evidenza due forme di indeterminazione e .

Esponenziale
Si tratta, in questo caso di considerare il limite della potenza tenendo presente che è

vengono individuate tre forme di indeterminazione 0⁰ con ∞⁰ ed infine 1^∞ : in totale abbiamo sette forme di indeterminazione.

Dobbiamo tener presente che le forme di indeterminazione riscontrate non significano l'assenza del limite, ma rivelano la mancanza di una relazione con il limite delle singole funzioni. Per trovare il limite, occorre, in genere elaborare ulteriori calcoli.

Forma +∞–∞

Come situazione di riferimento possiamo prendere una qualsiasi funzione polinomiale del tipo

dove a_o , a₁ , ... , a_n-1 , a_n sono numeri reali. Quando x tende a +∞ o a -∞ ci possono essere due casi

a Tutti gli addendi (escluso a_n) tendono a +∞ o a -∞ per cui l'intero polinomio tende rispettivamente a +∞ o a -∞.
b Alcuni addendi tendono a +∞ e altri a -∞ e qui si presenta la forma di indeterminazione +∞-∞.
Quando è possibile si effettua il seguente artificio: si raccoglie a fattor comune la potenza di esponente maggiore xⁿ.

tutti i termini dentro la parentesi tonda, eccetto il primo tenderanno a zero, per cui il limite del polinomio, per x che tende a +∞ o a -∞ è dato dal limite del suo termine di grado maggiore.

esempio

osserviamo che il limite assegnato si presenta in forma indeterminata +∞-∞ ma come si può dedurre da questo esempio il limite x→∞ di un polinomio, è sempre infinito ed il segno dipende dal termine del polinomio che ha il grado massimo.

Nel passaggio (1) abbiamo raccolto a fattor comune la massima potenza di x; nel passaggio (2) abbiamo applicato il teorema sul limite del prodotto; nel passaggio (3) il teorema sul limite di una potenza e quello sul limite di una differenza.

esempio

Si tratta, evidentemente, di un caso di indecisione +∞-∞ e in questo caso si ricorre ad un artificio in modo che si possa riscrivere la funzione senza che essa abbia al numeratore la differenza cioè moltiplichiamo e dividiamo la funzione per che equivale a moltiplicare la funzione per 1 (cioè la lascia invariata)

dunque

Forma ∞/∞

Si presenta frequentemente nel caso di funzioni razionali fratte del tipo

dove a_o , a₁ , ... , a_m , b_o , b₁ , ... , b_n costanti reali a_o≠0 , b_o≠0 , m≥1 , n≥1.
Quando in questa forma si ha x tende a +∞ oppure a -∞ si ha la forma di indeterminazione ∞/∞.
La forma di indeterminazione può essere eliminata, in questo caso raccogliendo x^m al numeratore ed xⁿ al denominatore.

qui ci possono essere tre casi

a m>n

mentre

poi dipende dal segno del rapporto

b m=n

di conseguenza, il limite richiesto vale

c m<n

essendo n-m>0 si ha

esempio

Forma 0/0

Anche in questo caso bisogna ricorrere a manipolazioni della funzione espressa nella scrittura di limite; nel caso frequente di funzioni razionali fratte si cerca di scomporre il polinomio al numeratore e quello al denominatore, ad esempio:

Il limite si presenta sotto la forma . Numeratore e denominatore si annullano per x=2,per cui sono divisibile per (x-2); tenendo presente che interessa il comportamento della funzione per x≠2 scriveremo

Nel caso si debba operare con limiti di funzioni trigonometriche può essere utile conoscere il limite notevole .

Limite notevole sinx/x

Il calcolo del limite dove x è la misura dell'arco in radianti che tende a zero, presenta la forma di indecisione . Osservando il disegno del cerchio trigonometrico di raggo 1, si riconosce per analogia geometrica

Chiamiamo PA la lunghezza dell'arco di circonferenza tra P ed A, avremo evidentemente

Per la geometria, la lunghezza dell'arco è ma nel cerchio trigonometrico r = 1, dunque:

dividendo tutto per sinx

invertendo

ora, sapendo che è e per il teorema del confronto la funzione è compresa tra le due funzioni y=cosx e y=1; quindi deve essere

inoltre, il limite permette l'introduzione di un nuovo limite notevole.

Limite notevole 1-cosx/x

Il limite presenta, apparentemente, forma di indeterminazione ; ma se moltiplichiamo e dividiamo per 1+cosx l'espressione sotto il segno di limite, otteniamo

per il teorema del prodotto dei limiti si conclude che è:

Limite notevole 1-cosx/x²

Il limite presenta forma di indeterminazione . Applicando il ragionamento precedente abbiamo

per il teorema del prodotto dei limiti dunque

Limite notevole del numero di Nepero

E' possibile dimostrare che la successione

che ha termine generale è convergente ad un numero irrazionale compreso tra 2 e 3. Questo limite si chiama numero di Nepero e si indica con la lettera "e". Quindi si ha:

Il numero "e" è stato assunto da Nepero come base di un sistema di logaritmi, detti appunto Neperiani o logaritmi naturali, che negli sviluppi teorici sono generalmente preferibili a quelli decimali, usati invece nelle applicazioni a carattere pratico. E' consuetudine indicare un logaritmo neperiano senza indicare la base. Il logaritmo neperiano di x viene indicato come log x o più frequentemente ln x.
Anche per i logaritmi decimali si omette la base e si adopera la maiuscola nella lettera iniziale del logaritmo come Log x. (N.D.R. nelle pagine di questo sito il logaritmo neperiano viene sempre indicato ln x, mentre il logaritmo decimale lg x, perché così abbiamo deciso).
Consideriamo ora la funzione