Iperbole

L’iperbole è il luogo dei punti di un piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi chiamati fuochi.

Indichiamo i due fuochi come F₁ ed F₂ e con P(x;y) il generico punto appartenente alla curva (l’iperbole) di coordinate x ed y.
Se chiamiamo 2a (con a>0) la differenza costante delle distanze di P da F₁ e da F₂ ,avremo

PF₁-PF₂=2a se PF₁>PF₂

PF₂-PF₁=2a se PF₁<PF₂

in ogni caso sarà ❶

Chiamiamo F₁F₂=2c (c>0) distanza focale. La distanza focale è costante perché F₁ ed F₂ sono due punti fissi.

Per semplicità pensiamo, inizialmente, ad una curva che abbia come assi di simmetria l'asse x e l'asse y e come centro di simmetria l'origine degli assi, l'iperbole definita in questo modo viene detta riferita al centro e ai suoi assi oppure più semplicemente viene chiamata iperbole riferita ai propri assi.

Equazione canonica dell'ellisse con i fuochi sull'asse x

Facciamo l'ipotesi che i due fuochi F₁ ed F₂ si trovino sull'asse x mentre l'origine O(0;0) coincida con il punto medio del segmento F₁F₂ .

Se abbiamo indicato con 2c la distanza focale è

indicando poi con P(x;y) il generico punto di coordinate x ed y appartenente all'iperbole la formula ❶ può essere specificata come

elevando al quadrato i due membri dell'uguaglianza e svolgendo i calcoli si arriverebbe alla relazione

❷

se ora si osserva il triangolo F₁PF₂ si vede che il lato F₂F₁=2c è più grande sella differenza |PF₁-PF₂|=2a degli altri due lati (altrimenti non sarebbe un triangolo, dove ogni lato è maggiore della differenza degli altri due) quidi deve essere necessariamente 2c>2a cioè c>a; questo implica che c²-a²>0 sempre. Poniamo:

❸

in base alla ❸ l'equazione❷ diventa

❹

l'equazione (IV) è l'equazione canonica dell'iperbole in forma normale. Dalla (III) si ha c²=a²+b² avendo ipotizzato c>0 si deducono le coordinate dei due fuochi.

inoltre si osserva che se un punto P(x;y) appartenente all'iperbole di equazione (IV) allora anche i punti di coordinate (-x;y) (x;-y) e (-x;-y) appartengono a tale curva; questo vuol dire che la curva è simmetrica rispetto all'asse x, all'asse y e all'origine .
Gli assi cartesiani sono assi di simmetria per l'iperbole mentre l'origine è il centro di tale simmetria; queste sono le caratteristiche dell'iperbole riferita al centro e agli assi che può essere rappresentata come si vede nel disegno.

se nell'equazione canonica dell'iperbole si pone y=0 rappresentativa dell'asse x delle ascisse otteniamo

cioè l'asse delle ascisse interseca l'ellisse nei punti che vengono chiamati vertici dell'ellisse.

Per questo motivo si dà il nome di asse traverso sia all'asse x che al segmento A₁A₂ di misura 2a mentre a viene chiamato semiasse traverso.
Se adesso cerchiamo di trovare l'intersezione con l'asse y, cioè ponendo a sistema

che è impossibile, quindi, l'iperbole non interseca l'asse y. L'asse y si dice asse non traverso.

Asintoti dell'iperbole

L'iperbole è caratterizza da una coppia di asintoti, cioè, due linee retta alle quali la curva, progressivamente , si avvicina senza mai toccarle.
Per l'iperbole riferita al centro e agli assi hanno equazione

tenendo conto che per l'iperbole

prendiamo un punto P(x;y) appartenente all'iperbole e poi consideriamo il punto Q(x;y_o) che ha la stessa ascissa di P e che appartiene all'asintoto che attraversa il primo quadrante la distanza PQ sarà

è evidente che all'aumentare di x il valore di questa distanza diminusce progressivamente tendendo a zero. In altri termini la distanza PQ tende a zero al tendere di x all'infinito.

Riassumiamo i parametri fondamentali dell'iperbole riferita al centro e agli assi con i fuochi sull'asse x :

Iperbole con i fuochi sull'asse y

L'iperbole riferita al centro e agli assi di simmetria può anche avere i fuochi sull'asse y.
L'asse y delle ordinate può contenere i fuochi e quindi può costituire l'asse traverso mentre l'asse x, sarebbe in questo caso l'asse non traverso. Ripetendo i procedimenti visti prima, questa configurazione può essere sintetizzata dalle seguenti formule.

Eccentricità dell'iperbole

L'eccentricità di una iperbole, indicata con e, è il rapporto tra la distanza focale e la misura dell'asse traverso

se i fuochi sono sull'asse x si ha

se invece i fuochi sono sull'asse y si ha

sappiamo che nell'iperbole la distanza focale c è sempre maggiore della misura dell'asse traverso dunque sarà sempre

nel caso dell'iperbole, l'eccentricità è una misura dell'apertura dei suoi rami.

Iperbole equilatera

Se nell'equazione canonica risulta essere a=b cioè se i due semiassi traverso e non traverso hanno la stessa lunghezza, l'iperbole si dice equilatera.

Più in generale, un'iperbole si dice equilatera quando i suoi asintoti sono perpendicolari tra di loro, questo fatto implica che i due semiassi traverso e non traverso hanno la stessa lunghezza. Solo in questo caso, infatti, il rettangolo ideale che ha lati pari all'asse traverso e all'asse non traverso passante sui vertici diventa un quadrato

le equazioni degli asintoti diventano

la semidistanza focale diventa

i vertici dell'iperbole sono i fuochi sono

anche se bisogna differenziare a secondo del tipo di iperbole come si vede nei disegni.

Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

Considerando una iperbole equilatera riferita al centro e agli assi di simmetria

dove l'iperbole disegnata in grigio ha i fuochi sull'asse x. Se sottoponiamo i punti del piano ad una rotazione di 45° in senso orario, oppure antiorario attorno all'origine O gli asintoti dell'iperbole vengono a coincidere con gli assi cartesiani (iperbole blu).
Per questo motivo si dice che, in questo caso, l'iperbole è riferita ai propri asintoti. In questo caso, è possibile dimostrare che l'equazione .

diventa con dunque per l'iperbole equilatera riferita a i propri asintoti si ha