Uguaglianze

      

Durante lo studio dei prodotti notevoli e in generale delle espressioni algebriche, appare spesso il simbolo di uguaglianza =.

`(x-y)(x+y)=x^2-y^2`
`a(x+y)=ax+ay`

queste espressioni vengono indicate come uguaglianze.
Quando una uguaglianza è sempre verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere, come accade nei due casi precedenti, questa uguaglianza può essere chiamata identità.

Un'identità è un'uguaglianza tra due espressioni, contenente una o più lettere, che risulta vera qualunque siano i valori numerici che vengono attribuiti a ciascuna lettera con l'esclusione di quelli che fanno perdere significato ad una o ad entrambe le espressioni.

Non tutte le uguaglianze sono delle identità; vi sono uguaglianze, che sono verificate solo per alcuni valori attribuiti alle lettere come nei casi seguenti

`3b=15` è verificata se b=5
`x(x-1)=0` è verificata per x=1 e per x=0
`a+b=5` è verificata ad es. per a=2 e per b=3

poi ci sono uguaglianze che non sono mai verificate

`x^2+y^2=-9`
`a=a+3`

La prima perchè la somma dei quadrati di due numeri non può mai essere uguale ad un numero negativo, la seconda perchè non esiste nessun numero che sia uguale a se stesso aumentato di 3.

Tutte le uguaglianze tra espressioni che, abbiamo appena visto possono essere anche chiamate equazioni ; dato che sono tutte espressioni che contengono il simbolo di uguaglianza =.

Equazioni

      

Si definisce equazione una uguaglianza fra due espressioni algebriche, contenenti una o più lettere.

• l'espressione che si trova a sinistra del segno di uguaglianza si chiama primo membro
• l'espressione che si trova a destra del segno di uguaglianza si chiama secondo membro.

Le uguaglianze e quindi le equazioni hanno una proprietà di simmetria, cioè è sempre possibile scambiare tra loro i due membri dell'equazione.

In generale, quando si presenta un' equazione, in essa può essere presente più di una lettera.

La lettera alla quale bisogna attribuire determinati valori perchè l'equazione sia verificata si chiama incognita.
Come detto, possono comparire molteplici lettere che possono essere considerate parametri (numeri noti di valore stabilito).
Spesso, ma non sempre, per indicare le incognite si utilizzano le ultime lettere di un alfabeto, come x,y e z mentre per i parametri si usano le prime lettere dell'alfabeto,a,b, c..etc.

Un'equazione si dice numerica, quando non ci sono altre lettere oltre all'incognita; un'equazione si dice letterale quando oltre all'incognita, figurano dei parametri.
Un'equazione è chiamata frazionaria se almeno un'incognita appare al denominatore di qualche frazione, se questo non avviene l'equazione è denominata intera.

`3(x+2)=2x+8`   è un equazione numerica perchè non appaiono lettere

`ax-x=a^2-1`   è un equazione letterale perchè oltre all'incognita appaiono delle lettere

`(2x+5)/3=(x-1)/2`   è un equazione numerica intera perchè non ci sono altre lettere oltre all'incognita x e la x NON appare al denominatore

`3/(x-2)=5+x^2`   è un'equazione numerica frazionaria perchè non ci sono altre lettere oltre all'incognita x e la stessa incognita appare al denominatore

`x/(a+1)=5/(1-a)`   è un'equazione letterale intera perchè oltre all'incognita x appare il parametro (a) e la x NON appare al denominatore

`(b-x)/(x-1)=a/(x+1)`   è un'equazione letterale frazionaria: infatti oltre all'incognita x appaiono i parametri a e b; la x appare al denominatore

Soluzione di un'equazione ad una incognita

      

I numeri che, sostituiti al posto dell'incognita, trasformano un'equazione in un'uguaglianza vera si dicono soluzioni o radici, dell'equazione assegnata.

In tal caso si dice anche che tali numeri soddisfano,o verificano, l'equazione assegnata.

        proviamo con x=5, si ha

questa affermazione è falsa perché 9≠12 dunque 5 non è la soluzione dell'equazione. Proviamo con x=3

questa affermazione è vera perché indubbiamente 6=6 dunque il valore 3 è soluzione dell'equazione.

Risolvere un'equazione ad un'incognita significa determinare l'insieme delle sue soluzioni.
Indichiamo con S l'insieme delle soluzioni che deve essere, comunque contenuto nell'insieme dei numeri reali (S ⊆ R).

Ci possono essere tre casi

1) L'insieme delle soluzioni contiene un numero finito di elementi, cioè le soluzioni dell'equazione sono in numero finito.
In questo caso diciamo che l'equazione è determinata.

2) L'insieme delle soluzione è vuoto S=∅ con questo intendiamo che qualsiasi numero si sostituisca all'incognita, l'equazione si trasforma in un uguaglianza falsa, in questo caso diremo che l'equazione non ha soluzioni ossia che è impossibile ( come avevamo visto per le uguaglianze `a=a+3;     x^2+y^2=-9`).

3) L'insieme delle soluzioni contiene un numero infinito di elementi, cioè le soluzioni dell'equazione sono infinite.
In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata.

Equazioni equivalenti

      

Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Per risolvere un'equazione, dobbiamo cercare di trasformarla successivamente in altre equazioni equivalenti di forma sempre più semplice, finché la soluzione non è evidente.

Per rendere l'idea, ricorriamo ad un esempio; supponiamo che la nostra scuola venga rifornita di pizze al trancio il cui peso, però, non è dichiarato e quindi è sconosciuto (incognito x). Come facciamo ad individuare il peso di ogni pizza sapendo che se la mettiamo su un piatto di una bilancia questa è in equilibrio se dall'altra parte c'è un peso di 1hg e 2/3 del trancio intero?

ragionando in ettogrammi scriveremo  

adesso,togliamo la stessa quantità in peso da entrambi i piatti ; per la precisione togliamo `2/3` di pizza da ogni piatto (togliendo il trancio intero di sinistra).

la bilancia, come si può immaginare, rimarrà in equilibrio (stesso peso). Ora, siamo rimasti con `1/3` di pizza sul piatto di sinistra che bilancia 1hg sul piatto a destra.
L'operazione che è stata effettuata è la seguente:

Adesso triplichiamo le quantità su entrambi i piatti: sul piatto di sinistra ci troveremo tre frazioni da `1/3` di pizza, che poi coincide, in peso, con il singolo trancio originario che avevamo usato. Mentre sulla destra avremo semplicemente tre pesi da 1hg ciascuno.

L'operazione effettuata è la seguente

Cioè, il trancio di pizza che ci mandano dal negozio pesa 3 ettogrammi.
Le equazioni ottenute, sommando e moltiplicando le stesse quantità sui piatti (cioè queste che seguono)

sono tutte equazioni equivalenti. Più in generale si può dedurre che sommando e sottraendo la stessa quantità da entrambi i membri di un'equazione oppure moltiplicando o dividendo per la stessa quantità gli stessi membri si ottiene una frazione equivalente.

Principi di equivalenza

      

I° principio di equivalenza

Sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione una stessa espressione algebrica intera (monomio o polinomio), si ottiene un' equazione equivalente all'equazione data.

 II° principio di equivalenza   

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un' equazione per uno stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente all' equazione data.

I due principi di equivalenza portano ad alcune conseguenze sulle modalità operative dei procedimenti per risolvere un'equazione.

In base al primo principio si deducono le seguenti regole:

• in un'equazione si possono trasportare dei termini da un membro all'altro cambiandogli il segno : l'equazione che si ottiene è equivalente a quella data.

• se entrambi i membri di un'equazione sono polinomi e uno stesso termine compare in entrambi i membri, si può eliminare tale termine da entrambi i membri dell'equazione.

In base al secondo principio si deducono le seguenti regole

• l'ultimo passaggio di un'equazione (la chiusura) avviene, quasi sempre, applicando il secondo principio, cioè dividendo entrambi i membri per il termine che moltiplica l'incognita.

quindi il secondo principio va saputo (non solo il primo).

• se in entrambi i membri di un'equazione è possibile raccogliere a fattor comune un termine numerico, questo si può sopprimere da entrambi i membri.

• se in un'equazione intera compaiono frazioni , è possibile ridurre entrambi i membri allo stesso denominatore e poi eliminare il denominatore comune semplificando.

• è possibile cambiare simultaneamente il segno di entrambi i membri di un'equazione, moltiplicando entrambi i membri per (-1).

Ricordiamo poi, che il secondo principio di equivalenza è coerente con la regola delle frazioni equivalenti

       (#)

Questa regola, anche chiamata 'prodotto incrociato', permette di risolvere velocemente equazioni dove non appaiano addendi ma solo operazioni di moltiplicazione e divisione.
In tutti i casi in cui siamo in presenza di un'equazione che possa essere ricondotta alla forma (#) ad es.

usando opportuni accorgimenti (le parentesi) si può applicare anche in presenza degli operatori + e -; inoltre il senso delle frecce può andare anche in senso opposto.

Nella pratica molte di queste operazioni sono svolte implicitamente e devono essere svolte in modo automatico; cioè si deve scrivere direttamente

vale la pena imparare ed applicare queste tecniche in modo sufficientemente veloce, perchè sono alla base di tutti gli argomenti successivi in qualsiasi corso di matematica.

Grado di un equazione

      

Data una equazione nell'incognita x scritta nella forma A(x)=B(x) è sempre possibile ricondurla alla sua forma canonica P(x)=0 .

Si definisce grado dell'equazione, il grado del polinomio P(x) rispetto la lettera x.

Ad esempio consideriamo

vediamo che l'esponente massimo della x è 3 e verrebbe da dire che si tratta di un'equazione di terzo grado; può essere riscritta come

Quest'ultima equazione è equivalente a quella data ma è scritta in forma canonica. Poiché al primo membro compare un polinomio di secondo grado nell'incognita x si conclude che l'equazione è di secondo grado.

Per determinare il grado di un'equazione è necessario porla in forma canonica . E' errato dedurre il grado di un'equazione senza porre quest'ultima in forma canonica.

Le equazioni canoniche più illustri sono sicuramente l'equazione di primo grado `mx+q=0` che nella geometria analitica rappresenta una retta, e l'equazione di secondo grado (trinomio di secondo grado) `ax^2+bx+c=0`  che sempre nella geometria analitica può essere associata ad una parabola.

La seguente procedura di risoluzione è valida per le equazioni numeriche intere di primo grado

Procedimento risolutivo di un'equazione numerica

  

La procedura segue solitamente i seguenti passaggi:

I) Si eseguono le operazioni indicate e si libera l'equazione dal denominatore.

II) Si eseguono le eventuali moltiplicazioni e si trasportano i termini con l'incognita al primo membro e i termini noti al secondo membro, cambiando di segno i termini trasportati, riducendo gli eventuali termini simili.
In questo modo si ottiene un'equazione del tipo `ax=b`.
Un'equazione dove al primo membro l'incognita x moltiplica un coefficiente `a` e al secondo membro un numero `b` (con a e b razionali).

III) A questo punto ci sono due casi

1) Se `a!=0`, si dividono per `a` entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente `a`. Si ricava di conseguenza la soluzione :

 `x=b/a`  l'equazione è, dunque, determinata e il suo insieme delle soluzioni è `S={b/a}`.

2) Se `a=0` l'equazione risulta espressa nella forma `0*x=b`

Dato che non è possibile dividere per 0, non possiamo procedere come nel caso precedente.
Ricordiamo però che, per la legge di annullamento del prodotto, moltiplicando per 0; quindi, sostituendo qualsiasi numero al posto di x, l'equazione `0*x=b` si trasforma nell'uguaglianza `0=b`

Se anche il numero b è zero, l'uguaglianza `0=b` assume la forma `0=0` e quindi è vera: qualsiasi numero reale è soluzione dell'equazione `ax=b`

Quindi per `a=0` e `b=0` l'equazione `ax=b` l'equazione si chiama indeterminata ed è un identità .

Se invece il numero b è diverso da zero, l'uguaglianza `0=b` è falsa: nessun numero reale è soluzione dell'equazione `ax=b`.
Ne consegue che per `a=0` e `bne0` l'equazione `ax=b` è un'equazione impossibile.  Schematizzando

dove con R intendiamo l'insieme dei numeri reali.

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