Ellisse
Prendiamo in considerazione due punti che chiameremo F1 ed
F2 collocati entrambi sull’asse x delle ascisse che abbiano la
stessa distanza c dall’asse delle ordinate, quindi simmetrici rispetto all’asse
y.
La distanza tra questi due punti risulta dunque essere 2c dato che le coordinate
sono F1(c;0) ed F2(-c;0).
Adesso pensiamo ad un segmento di lunghezza 2a con a >c; poi disegniamo
un punto P che abbia 2a come la somma delle distanze di P da F1
ed F2.
L'ellisse è il luogo dei punti di un piano per il quale è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 ed F2 chiamati fuochi.
Per un generico punto P appartenente all'ellisse, deve essere soddisfatta la condizione
Indicando con x ed y le coordinate del generico punto P, la lunghezza 2a
può essere ricavata usando il teorema di Pitagora.
Per ricavare le due distanze PF1 e PF2
poi
eleviamo
al quadrato entrambi i membri
elevando ancora al quadrato entrambi i membri
alla fine rimane
❶
ora, sapendo che c < a si riconosce che la differenza a2-c2 è sempre positiva; quindi dopo aver posto
❷
L'equazione ❶ diventa
dividendo
entrambi i membri per a2b2:
(a
> b) ❸
quella appena scritta è l'equazione canonica dell'ellisse ( o forma normale ).
Sappiamo che c > 0 dunque 
le
coordinate dei due fuochi sono
Se ora poniamo a sistema l'equazione y=0 dell'asse x con la ❸ si ha
L'ellisse interseca l'asse x nei punti di coordinata 
Allo stesso modo si troverebbe (ponendo x=0) che le intersezioni con l'asse
y si anno nei punti di coordinate 
● I quattro punti A1 A2 B1
B2 si chiamano vertici dell'ellisse.
● Il segmento che va da A1 a A2 contenente
i due fuochi, misura 2a e viene chiamato asse maggiore.
● Il segmento che va da B1 a B2 contenente
i due fuochi, misura 2b e viene chiamato asse minore.
● I due numeri (positivi) a e b rappresentano quindi le misure
dei semiassi.
Ellisse con i fuochi sull'asse y
L'ellisse collocata al centro del piano cartesiano, può avere anche i
fuochi sull'asse y 
In questo caso l'asse maggiore sarà sull'asse y e l'asse minore sull'asse x, detto P(x;y) un generico punto appartenente all'ellisse
Seguendo lo stesso ragionamento effettuato in precedenza si arriverebbe alle conclusioni
(a
< b)
(c
< b) distanza focale
asse
minore
asse
maggiore
poi 
dunque
fuoco
1 e 2
vertici
m : q :
xMin : xMax :
yMin : yMax :
Eccentricità
L'eccentricità di un'ellisse è il rapporto tra la distanza focale e l'asse maggiore. Dunque, se i fuochi sono sull'asse x
se i fuochi sono sull'asse y
Siccome la distanza focale è sempre minore dell'asse maggiore risulterà sempre 0 < e < 1
Se e=0 ⟶ c=0 quindi dalla relazione
L'equazione canonica dell'ellisse diventa
Che rappresenta l'equazione di una circonferenza con centro nell'origine
e raggio a.
Da questo fatto si conclude che la circonferenza può essere considerata
un caso particolare di ellisse con eccentricità nulla.
Invece, nel caso limite e=1 si si ha che la distanza focale è uguale all'asse maggiore cioè i fuochi coincidono con i vertici; si deduce che deve essere nullo l'asse minore ; l'ellisse si riduce all'asse maggiore, cioè ad un segmento.