Sistemi di disequazioni
Un insieme di due o più disequazioni nella stessa incognita che si vuole
siano soddisfatte simultaneamente si chiama sistema
di disequazioni.
Ogni soluzione comune a tutte le disequazioni di un sistema si chiama soluzione
del sistema.
Risolvere un sistema di disequazioni vuol dire trovare tutte le soluzioni,
cioè, l'insieme delle soluzioni che noi
solitamente chiamiamo S.
Ad esempio, proponiamoci di trovare tutti i numeri reali che diminuiti
di 1 siano non negativi e minori di 5.
Indicheremo con la x il generico numero reale; affinchè x sia una soluzione
del problema la x deve soddisfare contemporaneamente
le due condizioni seguenti
il passaggio successivo consiste nel ricavare l'insieme delle soluzioni per ogni singola disequazione.
un primo insieme delle soluzioni potrebbe essere S1={ x∈R
| x ≥ 1} il secondo insieme S2={ x∈R | x < 6}. Ora
dobbiamo determinare le soluzioni che soddisfano sia la prima che la seconda
disequazione: cioè dobbiamo determinare l'intersezione
tra gli insiemi S1 ed S2 .
A tale scopo può essere utile rappresentare graficamente su rette parallele
gli insiemi S1 ed S2 per poterne individuare la parte comune S=S1
∩ S2, come riportato nel disegno qui sotto
come si vede le condizioni dettate dalle due disequazioni sono conteporaneamente
soddisfatte nell'intervallo 1 ≤ x <6 (con 1 incluso e 6 escluso).
Potremmo dunque affermare che l'insieme delle soluzioni per il sistema è:
S={ x∈R | 1 ≤ x < 6 }
E' tutt'altro che infrequente la presenza nel sistema di un'espressione di secondo grado, come nell'esempio seguente
si trova facilmente che la seconda disequazione è soddisfatta per x <
3.
La prima disequazione può essere interpretata come una parabola che interseca
l'asse x nei punti corrispondenti alle radici del trinomio di secondo grado,
facilmente ricavabili dalla formula
l'equazione della parabola in questione ha il coefficiente del termine di secondo grado positivo (a>0) dunque ha la concavità rivolta verso l'alto.
dal disegno si deduce che la funzione descritta da questa parabola è positiva
per valori esterni all'intervallo { 1; 2 } cioè x <1 ∨ x > 2.
Ricapitolando, l'insieme delle soluzioni della prima disequazione è S1={
x∈R | x < 3 } mentre l'insieme delle soluzioni della seconda disequazione
è
S2={ x∈R | x <1 ∨ x > 2 }. Troviamo ora l'intersezione
dei due insiemi S=S1 ∩ S2.
dal disegno si vede che i due insiemi delle soluzioni delle due disequazioni sono contemporaneamente soddisfatti per
S={ x∈R | x < 1 ∨ 2 < x < 3 }