Derivata di una funzione

           

Il concetto di derivata di una funzione ad una variabile, è uno dei più importanti e fondamentali sia della matematica pura, sia di ogni sua applicazione ed è quello su cui si basa l'intera costruzione del calcolo differenziale.
La creazione del calcolo infinitesimale, come metodo potente, sistematico e compiuto può essere riferito alla seconda metà del 1600 quando Newton e Leibniz, indipendentemente l'uno dall'altro, introdussero la nozione di derivata e di differenziale sviluppando le relative regole di calcolo.
Ma in matematica, come in tutte le discipline scientifiche, le idee non sorgono improvvise; esse sono sempre il risultato di una preparazione più o meno lunga.
Tracce e approcci a questo tipo di calcolo sono stati riscontrati nelle opere di Archimede mentre i lavori di Cavalieri e Torricelli (allievi di Galileo) sono da considerare precursori delle teorie di Newton e Leibniz di cui hanno contribuito a preparare il terreno.

Ipotizziamo che la funzione y=f(x) è definita nell'intervallo chiuso [a,b] fissiamo un punto x appartenente a questo intervallo; consideriamo un altro punto x+h appartenente anch'esso ad [a.b]. La quantità h è l'incremento subìto dalla x per passare al punto x+h. In concomitanza di questo incremento, la funzione f(x) passa dal valore f(x) al valore f(x+h) quindi la funzione subisce l'incremento:



viene così definito il rapporto incrementale



Se al tendere di h a zero il rapporto incrementale tende ad un limite finito, questo si chiama derivata (prima) della funzione f(x).

Se la derivata f'(x) esiste per ogni punto dell'intervallo [a,b] in cui è definita la f(x) quest'ultima si dice derivabile nell'intervallo specificato.

Dal triangolo PQR si ha:


Quando h tende a zero, Q tende a P e la secante tende alla tangente in P (linea rossa).


Ricordiamo che le tangenti tgα e tgβ sono i coefficienti angolari delle rette associate. Se ne ricava:

Significato geometrico di derivata

           

Dall'ultima formula che abbiamo calcolato si può comprendere quella che può essere considerata l'interpretazione geometrica della derivata di una funzione:

il coefficiente angolare della retta tangente ad una linea di equazione $y=f(x)$ in un suo punto, è uguale alla derivata di $f(x)$ in quel punto.

Possiamo allora scrivere l'equazione della retta tangente alla linea di equazione $y=f(x)$ nel punto di ascissa $x_o$ ed ordinata $y_o=f(x_o)$ come

$y-f(x_o)=f'(x_o)⋅(x-x_o)$

prendiamo una funzione, ad esempio una bella parabola: $y=x^2-8x+15$ calcoliamo il rapporto incrementale

sappiamo che questa parabola ha la concavità rivolta verso l'alto ed interseca l'asse delle ascisse nei punti x=3 ed x=5 ; l'ascissa del vertice è collocato in x_o=4. In tale punto avremo

Notiamo come la derivata della funzione nel punto x_o=4 sia nulla, è dunque nullo anche il coefficiente della retta tangente alla linea di funzione assegnata che significa che in quel punto la retta tangente alla curva della funzione è orizzontale! L'equazione della retta tangente alla y=f(x) nel punto x_o=4 è infatti

cioè è una retta orizzontale passante per l'ordinata y=-1.

nello schema interattivo, viene riportato il valore numerico della derivata della funzione in corrispondenza del punto appartenente alla curva selezionato, in alto a destra, sono invece riportate le coordinate xy del punto selezionato.

Un altro esempio ci porterebbe a considerare un valore infinito per la derivata, e questo significa che la retta tangente in quel punto alla curva di funzione è verticale.
Calcoliamo la derivata della funzione  $y=√^3{x}$    nel punto x_o=0

    calcolata per x=x_o=0 fornisce    

La nozione di derivata si presenta spontaneamente in tutte le discipline di applicazione della matematica. Ad esempio in fisica è molto importante la nozione di velocità intesa come derivata dello spazio rispetto alla variabile tempo. Supponiamo di conoscere la legge oraria con cui varia lo spazio percorso da un punto materiale in funzione del tempo: s=f(t) se consideriamo i due istanti successivi t e t+h il rapporto

si chiama velocità media nell'intervallo di tempo h ed è funzione di h, ed il suo limite per h tendente a zero è la velocità corrispondente al termpo t, o come si dice solitamente è la velocità all'istante t. Dunque:

La velocità di un punto materiale in moto è uguale alla derivata dello spazio da esso percorso, rispetto al tempo.

In generale la nozione di velocità media e di velocità si estende a tutti i fenomeni fisici in cui la grandezza variabile y è funzione del tempo t.

Derivabilità e continuità

           

Se una funzione è derivabile in un punto x, questa è continua in quel punto. Infatti essendo

       si ha

       quindi essendo

   la funzione f(x) è continua nel punto x.

Il teorema inverso non sussiste. Infatti si conoscono funzioni che sono continue in ogni punto di un intervallo e non hanno derivata in nessun punto.

Derivate di funzioni elementari

           

Derivata di una funzione costante
Se y=k con k numero relativo qualsiasi, si ha y'=0. Infatti l'incremento della funzione y per qualsiasi incremento h della variabile è nullo.
Si ha quindi

Derivata della funzione lineare
Data la funzione $y=mx+q$ definita $∀x ∈ R$, il rapporto incrementale, se h ≠ 0 è

e si ottiene y'=m, si scrive    

Derivata della funzione potenza ad esponente intero positivo
Se y=xⁿ con n intero assoluto si ha:    e qui dobbiamo ricorrere allo sviluppo della potenza n-esima del binomio.

passando al limite per h→0,       

La potenza ad esponente intero assoluto ha per derivata il prodotto dell'esponente per la potenza ad esponente diminuito di 1. In particolare per n=1 si ha Dx=1.

Derivata della funzione seno
Data la funzione y=sinx definita ∀x ∈ R, il rapporto incrementale, se h ≠ 0 è    
che sviluppato attraverso la formula di addizione del seno e poi con quella di duplicazione del coseno diventa

passando al limite per h→0

    

dunque y'=cosx e si scrive

Derivata della funzione coseno
Se procediamo come nel caso precedente è possibile dimostrare che se y=cosx si ha y'=-sinx e scriveremo

Derivata della funzione logaritmica
Data la funzione logaritmica con y=log_ax con a > 0 ed a ≠ 1 definita ∀x ∈ R⁺, il rapporto incrementale, se h ≠ 0 è

dopo aver posto $$t=x/h$$   e considerando che è sempre $x > 0$ si ha

   ne consegue

in definitiva   $$y'=1/xlog_a{e}$$   si ha concludendo

in particolare se $a=e$ numero di Nepero si ha $$y'=1/xln\,e=1/x$$  dunque è

Derivata della funzione esponenziale
Data la funzione esponenziale $y=a^x$ con $a > 0$ definita per ogni valore di x reale, il rapporto incrementale, se h ≠ 0 è

poi ponendo   

poiché     si ha

in definitiva si ha $y'=a^x\,ln\,a$ dunque 

in particolare se a=e numero di Nepero si ha    

Regole di derivazione

           

Considerando esclusivamente funzioni derivabili, possono essere espressi i seguenti teoremi.

1 Derivata del prodotto di una funzione per una costante
Se è $y=k·f(x)$ con $k$ numero reale qualsiasi si ha

passando al limite per h→0 si ottiene

dunque

La derivata del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione, come mostrato dai seguenti esempi.

2 Derivata di una somma di funzioni
Se è $y=f(x)+g(x)$ si ha

quindi passando al limite per h→0 si ottiene

dunque:

Questo teorema si estende facilmente al caso di più funzioni, quindi: la derivata della somma algebrica di più funzioni è uguale alla somma algebrica delle loro derivate.
Esempi:

●
●
●

3 Derivata del prodotto di due funzioni
Se è $y=f(x)·g(x)$ si ha

addizionando e sottraendo al numeratore f(x)·g(x+h)

raccogliendo a fattor comune g(x+h) nel primo e nel quarto addendo ed f(x) nel secondo e nel terzo

essendo f(x) e g(x) derivabili e quindi continue, è  $\lim↙{h→0}\,{g(x+h)=g(x)$  di conseguenza

si conclude

La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla somma dei prodotti di ciascuna di esse per la derivata dell'altra.Esempi:

questo teorema può essere esteso al prodotto di più di due funzioni. Nel caso di tre funzioni $y=f(x)⋅g(x)⋅p(x)$ si ha

come ad esempio

4 Derivata della funzione reciproca
Se è  $$y=1/{f(x)}$$   si ha

ora se passiamo al limite per h→0 dobbiamo notare che è$\lim↙{h→0}\,{f(x+h)=f(x)$ dunque

si conclude che

interessante il caso particolare  $$y=1/x^n$$   si ottiene infatti $$y'=-{n⋅x^{n-1}}/{[x^n]^2}=-{nx^{n-1}}/{x^{2n}}$$
poi dividendo numeratore e denominatore per $x^{n-1}$, si ottiene: $$y'=-n/x^{n+1}$$

5 Derivata del quoto di due funzioni
Se è $$y={f(x)}/{g(x)}=f(x)⋅1/{g(x)}$$ allora per il teorema del prodotto e della funzione reciproca si ha:

in definitiva

La derivata del quoto di due funzioni è uguale ad una frazione che ha come denominatore il quadrato del denominatore e come numeratore la differenza tra la derivata del numeratore per il denominatore non derivato e la derivata del denominatore per il numeratore non derivato.

L'esempio che obbligatoriamente si fa per questo tipo di derivazione è quello della tangente trigonometrica: $$y=tgx={sinx}/{cosx}$$

l'ultimo passaggio si ottiene ricordando che è sin²x+cos²x=1

6 Derivata di funzione composta
Dobbiamo prima definire una funzione composta, spesso chiamata funzione di funzione.

Sia t=f(x) definita in un intervallo [a, b]. Se I è l'insieme dei valori assunti da t quando x varia in [a, b] e sia y=F(t) una funzione di t definita nell'insieme I.
Per ogni valore di x ∈ [a, b] resta allora definito un valore si y. Si piò allora affermare che y è funzione di x per tramite di t e si scrive y=F[f(x)].
Diremo che y è funzione di x oppure funzione composta di x mediante la t.
Ad esempio $y=ln(x^2+3)$ è una funzione composta di $x$ mediante $t=x^2+3$ con $y=ln(t)$ .
Dopo questa premessa, determiniamo la derivata della funzione y=F[f(x)] funzione composta di x mediante f(x). Se è t=f(x) e si fa subire ad x l'incremento h la f(x) subirà un incremento che indichiamo k. Quindi

 si ha, allora  moltiplicando e dividendo per k

poiché f(x) è derivabile e quindi continua  $\lim↙{h→0}[{f(x+h)-f(x)]=0$ cioè   $\lim↙{h→0}k=0$   passando al limite per h→0

si conclude che  

La derivata di una funzione di funzione è uguale al prodotto della derivata che si ottiene considerando come variabile la funzione da cui essa dipende per la derivata di tale funzione. Esempi:

Questo teorema è, ovviamente, coerente con la formula di derivazione per la funzione $y=x^n$, infatti $y=x^n$ con n numero reale, può essere riscritta come $y=e^{n\,lnx}$ funzione composta

7 Derivata di $f(x)^{g(x)}$
Se è $y=f(x)^{g(x)}$ prendendo il logaritmo neperiano di entrambi i membri

derivando entrambi i membri rispetto ad x

   di conseguenza

    dunque

8 Derivata della funzione inversa
Se y=f(x) è una funzione invertibile nell'intervallo [a, b] ed è x=g(y) la sua funzione inversa sarà

derivando entrambi i membri rispetto ad x, si ottiene

     in definitiva è:

     si conclude che le funzioni inverse hanno derivate reciproche

Usando quest'ultimo teorema è possibile calcolare la derivata della funzione arcoseno, funzione inversa del seno.

   ha come funzione inversa

   quindi essendo $$y'=1/{x'}$$  avremo

  dunque 

Un ragionamento analogo si può fare per la funzione arcocoseno.

  ha come funzione inversa

   essendo $$y'=1/{x'}$$  avremo

  dunque 

anche per la funzione arcotangente può essere usato lo stesso teorema.

$y=arctgx$  con x reale qualsiasi ha come funzione inversa

  essendo $$y'=1/{x'}$$  si ha:

  dunque  

Teoremi sulle funzioni derivabili

           

Teorema:Una funzione derivabile, è crescente nel punto x_o se la derivata della funzione è positiva in x_o.
E' decrescente in x_o se la derivata è negativa in x_o.

Definizione: una funzione f(x) ha nel punto x_o appartenente al suo intervallo di definizione un massimo relativo, in x_o, se esiste un intorno di x_o, tale che la funzione sia crescente a sinistra e decrescente a destra di x_o. Si ha un minimo relativo se esiste un intorno di x_o, tale che in esso la funzione sia decrescente a sinistra e crescente a destra.

Teorema:Se la funzione f(x), derivabile ha un massimo o un minimo in x_o; la sua derivata in x_o è nulla.

Teorema di Cauchy: se in un intervallo [a,b] le due funzioni f(x) e g(x) sono derivabili e la derivata di g(x) non è mai nulla, in tutto l'intervallo esiste un punto x0 per il quale risulta:

Teorema di Lagrange (del valor medio):Se una f(x) è derivabile in ogni punto di un intervallo ed a e b sono due punti dell'intervallo, esiste un punto x_o compreso fra a e b per il quale si ha:

Se C è il punto di ascissa x_o,   è il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto C. Il teorema esprime l'esistenza di almeno un punto all'interno dell'arco AB della curva, nel quale la tangente risulta parallela alla retta AB.

Teorema di l'Hospital:se due funzioni continue f(x) e g(x) tendono a zero per x che tende ad a, il limite del loro rapporto è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultimo esiste.Cioè se è:

Differenziale di una funzione

           

Se $y=f(x)$ è derivabile si ha:  $$\lim↙{Δx→0}\;{Δy}/{Δx}=f'(x)$$   con una scrittura fuori dal segno di limite, si ha

$${Δy}/{Δx}=f'(x)+ε$$   ovviamente con $ε$ piccolo a piacere e con la proprietà  $\lim↙{Δx→0}\,ε=0$

moltiplicando entrambi i membri dell'equazione suddetta per $Δx$ si ha  $Δy=Δx⋅f'(x)+Δx⋅ε$

$Δy$ e $Δx·f'(x)$ sono infinitesimi dello stesso ordine dato che il limite del loro rapporto è $ f'(x)$ finito. Mentre $Δx·ε$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $Δx$ e quindi a $Δy$ in quanto

Il termine f'(x) ·Δx viene chiamata parte principale dell'infinitesimo Δy e viene chiamato differenziale di y=f(x) e indicato con dy:

Il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata della funzione per l'incremento della variabile. Se è f(x)=x si ha

L'incremento della variabile è uguale al differenziale della variabile. Allora si può scrivere:

Il differenziale di una funzione è uguale al prodotto della derivata della funzione per il differenziale della variabile. Dalla precedente si ricava

Con locuzione imprecisa, si dice che la derivata è il quoziente di due differenziali; sottintendendo il passaggio al limite per tale quoziente, dato che i termini della frazione sono infinitesimi e come tali ha solo senso parlare del limite del loro quoziente.