Probabilità condizionata e prodotto logico di eventi

  

Si definisce probabilità di un evento A condizionata (subordinata) all'evento B e si indica P(A|B), la probabilità che si verifichi A nell'ipotesi che B sia verificato. Si hanno eventi dipendenti se le informazioni fornite dall'evento B vanno poi ad alterare le probabilità del verificarsi del successivo evento A.

In queste scritture

● P(A) è la probabilità che si verifichi l'evento A.
● P(B) è la probabilità che si verifichi l'evento B.
● P(A|B) è la probabilità che si verifichi l'evento A dopo che si è verificato l'evento B.
● P(B|A) è la probabilità che si verifichi l'evento B dopo che si è verificato l'evento A.
● P(A ∩ B) è la probabilità che in un singolo tentativo si verifichino simultaneamente l'evento A e l'evento B.

Nel caso di eventi dipendenti tra loro, il teorema del prodotto può, dunque, essere sinteticamente espresso delle uguaglianze

La probabilità dell'intersezione tra due eventi è uguale al prodotto delle probabilità di uno degli eventi per la probabilità condizionata dell'altro, purchè sia verificato il primo evento.

Eventi indipendenti

              

Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influenza il verificarsi dell'altro.
Nel lancio di due dadi il risultato di uno non influenza il risultato dell'altro; però se si estraggono due carte
da un mazzo ( senza reimmissione ) la probabilità di avere una carta rossa la seconda volta è legata al fatto di avere incontrato o no una carta rossa la prima volta: questi eventi sono dipendenti.

Se gli eventi A e B sono indipendenti fra loro risulta:

in tal caso:
     cioè       

similmente si ha:

      cioè       

La probabilità che in un singolo tentativo si verifichino tutti gli eventi indipendenti di un insieme è pari al prodotto delle singole probabilità.

Estendendo il teorema all'intersezione di più eventi:

infatti ponendo F=A∩B

Il teorema del prodotto viene ulteriormente semplificato nel caso gli eventi siano collettivamente indipendenti quando ogni evento risulta indipendente non solo dagli altri, ma anche da tutte le possibili intersezioni; quando risulta

allora, il teorema del prodotto per tre eventi indipendenti diventa

generalizzando per n eventi indipendenti E₁ , E₂ , ... , E_n :

Esempio eventi dipendenti : si lanciano 2 dadi, sapendo che la somma dei punti ottenuta è minore di 7, calcolare la probabilità che i due dadi abbiano lo stesso valore .
Gli eventi sono

A = somma dei punti minore di 7 :

B = dadi con lo stesso valore :

la probabilità che i due eventi si verifichino in un unico tentativo è   

seguendo la definizione, la probabilità che i due dadi abbiano lo stesso valore sapendo che la somma dei loro punti è un numero minore di 7 è

in questo caso gli eventi sono dipendenti e questo lo si riconosce dal fatto che risulta P(B|A) ≠ P(B).

Esempio eventi indipendenti : Calcolare la probabilità che estraendo una carta da un mazzo da 40 si tratti di una carta nera supponendo che sia uscita una figura.

A = si estrae una figura
B = si estrae una carta nera

notiamo che se è stata già estratta una figura(A) la probabilità che si tratti di una carta nera (B) è

mentre se è stata estratta una carta nera (B), la probabilità che si tratti di una figura (A) è

è evidente l'intersezione dei due insiemi

chiaramente è mentre è