Distribuzione ipergeometrica

     

La distribuzione ipergeometrica è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in un campione di dimensione fissa, estratto senza reinserimento, da una popolazione contenente un numero fisso di successi e di fallimenti.

In altre parole, si ha la distribuzione ipergeometrica quando si effettua l'estrazione di un campione che non prevede la possibilità di reimmissione dell'elemento scelto nell'insieme di provenienza.

La distribuzione di Bernoulli ha una evidente caratteristica operativa: essa prevede che dopo ogni singola estrazione il campione ottenuto debba essere reimmesso nel gruppo di campioni dal quale è possibile estrarre elementi ( in modo casuale ) si parla, in questo caso, di prove ( stocasticamente ) indipendenti.
Se questa prerogativa non è rispettata, le prove di estrazione campionaria sono dipendenti fra loro.

Supponiamo di avere un'urna in cui vi siano N palline, di cui k bianche ed h nere con

dopo aver effettua n estrazioni in blocco ( o successive senza reimmissione ) si otterrà un sottoinsieme di x palline bianche ed y palline nere ovviamente con

0 ≤ x ≤ k ed 0 ≤ y ≤ h ed anche
0 ≤ x ≤ n ed 0 ≤ y ≤ n sarà ovviamente:

ci proponiamo di determinare la probabilità di estrarre x palline bianche tra le k presenti nell'urna e y palline rosse tra le h presenti nell'urna.

i modi per scegliere le palline sono

          modi di scegliere x palline bianche tra le k originarie

          modi di scegliere y palline rosse tra le h originarie

Inoltre ogni scelta delle palline bianche può essere associata ad ogni scelta delle palline rosse ( prodotto cartesiano ) i casi favorevoli sono:

dato che la probabilità è data dal rapporto fra i casi favorevoli e quelli totali

                                 indicando con

N = popolazione totale
k = numero di elementi della popolazione con caratteristica indicata
n = numero di elementi estratti in blocco (o successivamente senza reimmissione)
x = numero degli elementi estratti aventi la caratteristica indicata.

Per   la distribuzione geometrica tende alla distribuzione binomiale con:

      e                             per questa distribuzione si ha:

                                                   valor medio

     varianza

 

Esempio :
Un'urna contiene 10 palline di cui 4 bianche e 6 nere. Si estraggono 3 palline in blocco (o successivamente senza reimmissione) calcola la probabilità di estrarre 0,1,2,3 palline bianche.

Usando la        

I calcoli non sono difficili, sono un po' laboriosi e talvolta è possibile automatizzarli; qui sotto la soluzione per p₁: