Nella simulazione interattiva rappresentata, si vede il risultato di due
onde armoniche progressive che viaggiano nella stessa direzione con la stessa
velocità.
In generale, un'onda progressiva, dotata di velocità v, può essere
espressa da una funzione del tipo:
dove con λ si indica la lunghezza d'onda. Nel nostro caso specifico, stiamo utilizzando delle onde armoniche, che poi è un sinonimo di onde sinusoidali. Un'onda armonica di questo tipo, può essere espressa nella forma:
dove il segno ± dipende dalla direzione in cui viaggia l'onda. Questa espressione deve essere corretta perché l'argomento della funzione coseno (ma potremmo anche usare la funzione seno) deve essere un numero puro adimensionale. Possiamo effettuare questa correzione moltiplicando l'argomento della funzione per una costante associata all'onda che consenta la conversione in radianti dell'argomento.
cioè per 2π/λ. Bisogna, in ogni caso, apportare una ulteriore aggiunta a questa formula, perché è possibile che per x=0 al tempo t=0, l'onda sia dotata di una fase iniziale ϕ ottenendo
questo perché la relazione tra velocità, periodo e lunghezza d'onda vale
È comune scrivere questa funzione d'onda in modi più compatti. Il primo modo riguarda la definizione del numero d'onda k e della pulsazione ω:
dunque
si ha
Un'altra definizione che consente di risparmiare ancora più spazio è quella di raggruppare la fase totale dell'onda in un'unica variabile funzionale: Φ(x,t):
con
✘
Infine, va notato che la funzione coseno, qui, è stata scelta arbitrariamente: avremmo potuto scegliere altrettanto facilmente una funzione seno; l'unica differenza tra la rappresentazione dell'onda con queste due funzioni è la costante di fase. Cioè, possiamo passare da una funzione all'altra se cambiamo la costante di fase di π/2:
Quando sovrapponiamo due onde caratterizzate da due funzioni f(x,t) del tipo descritto, che viaggiano alla stessa velocità, nella stessa direzione, con la stessa ampiezza A, avremo ovviamente una sovrapposizione di effetti data dalla formula:
Vogliamo che questa funzione dipenda solo dalla differenza delle due fasi, quindi scriveremo ogni fase totale in termini di deviazione dalla loro fase media (che chiameremo semplicemente Φ), e la differenza di fase tra le due onde, ΔΦ :
quindi
Adesso, applichiamo una famosa identità trigonometrica
quindi
✱
La differenza di fase tra le due onde può essere scritta in termini di differenza di posizione, tempo e costante di fase, usando l'equazione ✘ :
dato che per un generico istante t si ha t1=t2 ⟶ Δt=0.
Man mano che le onde si propagano, i valori di x e t cambieranno, ma poiché le due onde sono identiche (viaggiando nella stessa direzione con la stessa velocità), le differenze in x e t non cambiano per una data fase. Pertanto il fattore nell'equazione ✱ che include la differenza di fase è costante. Mettendo quella costante insieme alla 2A si ottiene l'ampiezza della nuova onda conglomerato (con la fase variabile nel tempo che è la media delle fasi delle due onde) che chiamiamo AT:
Nella simulazione viene dunque rappresentato l'effetto di sovrapposizione ed interferenza tra le due onde che hanno la stessa velocità, la stessa lunghezza d'onda, lo stesso periodo e la stessa ampiezza che viaggiano nella stessa direzione. L'ampiezza dell'onda risultante è
La nozione di onda progressiva fa da contraltare a quello di onda stazionaria. La sovrapposizione di due onde piane, progressive, che si propagano in direzioni opposte (rossa e blu) genera un'onda stazionaria (nera). L'onda stazionaria ha nodi e antinodi (ventri) indicati da linee tratteggiate. Nei nodi l'ampiezza dell'onda stazionaria è zero mentre negli antinodi è massima.
Quando un'onda non si propaga, ma rimane sempre nella stessa regione dello di spazio è un'onda stazionaria.
Di solito le onde stazionarie soddisfano a condizioni al contorno ai confini
della regione in cui esistono. Ad esempio, una corda fissata alle sue estremità
ha una deviazione verticale o orizzontale zero nei punti di fissaggio. In
questo caso l'onda stazionaria ha nodi alle estremità.
Quando due onde identiche e progressive di uguale ampiezza e uguale lunghezze
d'onda viaggiando nello stesso mezzo, lungo lo stesso rettilineo linea,
ma in direzioni opposte, interferiscono, l'onda formata è chiamata onda
stazionaria.
Dato che le velocità delle due onde interferenti sono uguali e opposte,
la risultante l'onda non viaggia né in avanti né indietro e quindi non viene
trasportata energia attraverso il mezzo.
con una notazione simile a quella vista per le onde progressive avremo
per
la trigonometria è
di
conseguenza
dove
