Vettori mappe e definizioni
In questa pagina riassumiamo attraverso alcune mappe concettuali le principali proprietà dei vettori in fisica.
Scalari e vettori
Le grandezze scalari, come per esempio la temperatura, la pressione, o la massa hanno solo un'intensità. Sono grandezze specificate da un valore numerico e da un'unità di misura (ad esempio 15 °C oppure 3 kg) e seguono le regole dell'aritmetica e dell'algebra comune. I vettori, di come ad esempio la velocità o lo spostamento, hanno, oltre a una intensità, anche una direzione e un verso (per esempio, 5 m verso nord).
I vettori seguono speciali regole dell'algebra vettoriale.
Può accadere che una grandezza scalare ed una vettoriale abbiano la medesima unità di misura. Per esempio sia la lunghezza che lo spostamento si misurano in metri, ma lo spostamento è una grandezza vettoriale mentre la lunghezza è una grandezza scalare.
Somma geometrica di vettori
Nel disegno seguente sono riportate delle operazioni di somma tra due vettori a secondo di alcune eventualità. Il metodo grafico più diffuso per eseguire la somma di due vettori è il metodo del parallelogramma come illustrato nello schema seguente; esso consiste nel costruire un parallelogramma che ha per lati i due vettori $a↖{→}$ e $b↖{→}$, poi si traccia la diagonale di questo parallelogramma uscente dal punto di applicazione dei due vettori; la diagonale rappresenta la risultante della somma dei due vettori.
In particolare evidenza il metodo punta-coda: due vettori $a↖{→}$ e $b↖{→}$ si possono sommare geometricamente disegnandoli nella medesima scala e collocandoli uno di seguito all'altro, cioè ponendo la coda del secondo in corrispondenza della punta del primo. Il vettore che congiunge la coda di $a↖{→}$ alla punta di $b↖{→}$ è il vettore somma $s↖{→}$.
Differenza geometrica di vettori
Fare la differenza tra due vettori significa sommare
al primo vettore l'opposto del secondo vettore.
Considerando due vettori $a↖{→}$ e $b↖{→}$, per sottrarre $b↖{→}$ da $a↖{→}$ si inverte la direzione
di $b↖{→}$ per ottenere $-b↖{→}$; poi si somma $-b↖{→}$
ad $a↖{→}$.
Come si vede, per eseguire la differenza tra due vettori è sufficiente
sommare al primo vettore (sottraendo) l'opposto del secondo vettore (minuendo).
L'operazione può essere eseguita anche graficamente, s'intende in
scala e rispettando le proporzioni.
La somma e la sottrazione vettoriale hanno proprietà commutativa:
$a↖{→}+b↖{→}=b↖{→}+a↖{→}$
e godono anche della proprietà associativa:
$(a↖{→}+b↖{→})+c↖{→} = a↖{→}
+ (b↖{→} + c↖{→})$
Componenti dei vettori
Le componenti (scalari) $v_x$ e $v_y$ di un vettore a sono le proiezioni ortogonali di a sugli assi coordinati, che si ricavano tracciando rette perpendicolari dall'estremo di a agli assi coordinati. Le componenti sono date da
$\{\table v_x = v·cos θ ; v_y = v·sin θ $
in cui viene misurato rispetto all'asse x secondo le regole della circonferenza trigonometrica. Il segno algebrico delle componenti indica il loro verso lungo l'asse associato.
Date le componenti, possiamo ricostruire il modulo e l'orientamento del vettore mediante le formule:
$$\{\table v =√{v_x^2+v_y^2} ; θ=arctan(v_y/v_x) $$
Versori
Risulta spesso utile introdurre i vettori unitari, o versori, $i↖{→},
j↖{→}$ e $k↖{→}$ che hanno modulo 1 e le cui direzioni
sono rispettivamente quelle degli assi x, y e z in un sistema di coordinate
destrorso. Qualsiasi vettore a può essere espresso mediante i versori come:
$v↖{→} = v_x i↖{→} + v_y j↖{→} + v_z k↖{→}$
dove $v_x i↖{→}, v_y j↖{→}$ e $v_z k↖{→}$
sono le componenti vettoriali di $v↖{→}$ e $v_x, v_y$ e $v_z$ sono le componenti
scalari di $v↖{→}$.
Somma di vettori con il metodo analitico
Per sommare i vettori con il metodo analitico valgono le seguenti regole:
$$\{\table v_x = a_x + b_x ; v_y = a_y + b_y; v_z = a_z + b_z $$
In questo caso $a↖{→}$ e $b↖{→}$ sono i vettori da sommare e $v↖{→}$ è il vettore somma. Notiamo che abbiamo sommato le componenti asse per asse. Possiamo quindi esprimere la somma sia col metodo dei versori sia con i moduli e gli angoli.
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
Il prodotto di uno scalare N e di un vettore $v↖{→}$ è un nuovo vettore il cui modulo è Nv e la cui direzione è la stessa di $v↖{→}$ con lo stesso verso di v se N è positivo e verso opposto a v se N è negativo.
Per dividere v per N si moltiplica v per 1/N.
Prodotto scalare
Il prodotto scalare di due vettori si scrive $a↖{→}·b↖{→}$ ed è la quantità scalare data da
$a↖{→}·b↖{→} = ab cos ϕ$
dove ϕ è l'angolo compreso fra la direzione di $a↖{→}$ e quella di $b↖{→}$. Il prodotto scalare può essere un numero positivo, nullo o negativo, a seconda del valore di ϕ.
Il prodotto scalare è il prodotto del modulo di un vettore $a↖{→}$
per la componente del secondo vettore ($b·cosϕ$) nella direzione
del primo vettore $a↖{→}$.
Si osservi che $a↖{→}·b↖{→}=b↖{→}·a↖{→}$,
sicché il prodotto scalare obbedisce alla proprietà commutativa.
$a·b = (a_xi + a_yj + a_zk)·(b_xi + b_yj+b_zk)$
in sintesi possiamo scrivere:
$a↖{→}·b↖{→} = b↖{→}·a↖{→}= a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=ab cos ϕ$
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale di due vettori si scrive $a↖{→}×b↖{→}$ ed è un vettore e il cui modulo c è dato da
$c= ab sinϕ$
in cui ϕ è il minore dei due angoli compresi fra le direzioni di $a↖{→}$ e $b↖{→}$. La direzione di $c↖{→}$ è ortogonale al piano definito da $a↖{→}$ e $b↖{→}$, e il suo verso positivo si determina applicando la regola della mano destra.
Notiamo che $a×b = -(b×a)$ sicché il prodotto vettoriale non obbedisce alla proprietà commutativa.
Nella notazione con i versori abbiamo
$a↖{→}×b↖{→} = (a_xi↖{→} + a_yj↖{→} + a_zk↖{→})×(b_xi↖{→} + b_xj↖{→}+b_zk↖{→})$
in cui si applica la proprietà distributiva.è inoltre possibile eseguire l'operazione con le matrici.
$$a↖{→}×b↖{→} = [ \table i↖{→},j↖{→},k↖{→}; a_x,a_y,a_z;b_x,b_y,b_z]= i↖{→}[ \table a_y,a_z; b_y,b_z]-j↖{→}[ \table a_x,a_z; b_x,b_z]+k↖{→}[ \table a_x,a_y; b_x,b_y] $$
cioè:
$$a↖{→}×b↖{→} =(a_yb_z-b_ya_z)i↖{→}+(a_zb_x-b_za_x)j↖{→}+(a_xb_y-b_xa_y)k↖{→} $$
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